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Lexikon der Mathematik: komplexer Laplace-Operator

Begriff in der Funk-tionentheorie auf komplexen Mannigfaltigkeiten.

Sei M eine zusammenhängende kompakte komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension n, Ap,q (M)

sei der Raum der (p, q)-Formen auf M. Der Operator \({\Delta }_{\bar{\partial }}\) : Ap,q (M) → Ap,q (M), \begin{eqnarray}{\Delta }_{\bar{\partial }}=\bar{\partial }{\bar{\partial }}^{* }+{\bar{\partial }}^{* }\bar{\partial }\end{eqnarray}

heißt der \(\bar{\partial }\)-Laplace-Operator. Die Differentialformen ψ, die die Laplace-Gleichung \({\Delta }_{\bar{\partial }}\psi =0\) erfüllen, heißen harmonische Formen, der Raum der harmonischen Formen vom Typ (p, q) wird mit \(\mathcal{K}^{p,q}\) (M) bezeichnet, genannt der harmonische Raum. Dieser Raum ist nach dem Hodge-Theorem isomorph zur Dolbeault-Kohomologiegruppe \({H}_{\bar{\partial }}^{p,q}(M)\).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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