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Lexikon der Mathematik: komplexer Tangentialraum

Vektorraum über ℂ, den die Derivationen von \(\mathcal{O}_x\) an der Stelle xX eines analytischen Raumes bilden.

Dieser wird bezeichnet mit XTx und Tangentialraum an X an der Stelle x genannt. Es gilt:

Sei φ : (X, \({}_{X}\mathcal{O}\)) → (Y, \({}_{Y}\mathcal{O}\)) eine holomorphe Abbildung. Für jedes x ∈ X gibt es eine induzierte lineare Abbildung φ : XTxYTφ(x). Wenn φ injektiv (biholomorph) an der Stelle x ist, dann ist φ* eineindeutig (isomorph) an der Stelle x. φ* wird das Differential von φ genannt.

Weiterhin gilt folgende Basisaussage:

Sei x ∈ ℂn, dann liegen die Abbildungen \begin{eqnarray}\frac{\partial }{\partial {z}^{i}}:n\mathcal{O}_{x}\to {\mathbb{C}}:\frac{\partial }{\partial {z}^{i}}(f)=\frac{\partial f}{\partial {z}^{i}}(x)\end{eqnarray}

in nTx und bilden eine Basis von nTx.

Ist (X, \({}_{X}\mathcal{O}\)) ein analytischer Raum und xX, dann ist XTx ein endlich-dimensionaler Raum. Wenn φ ein Isomorphismus von einer Umgebung von x auf eine Untervarietät von ℂn ist, dann gilt dimX Txn.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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