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Lexikon der Mathematik: komplexer Torus

Beispiel einer komplexen Mannigfaltigkeit.

Seien c1, …, c2n ∈ ℂn 2n reell-linear unabhängige Vektoren. Dann ist \begin{eqnarray}\Gamma :=\{\zeta =\displaystyle \sum _{\lambda =1}^{2n}{k}_{\lambda }{c}_{\lambda }:{k}_{\lambda }\in {\mathbb{Z}}\ \text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\ \lambda =1,\ldots,2n\}\end{eqnarray}

eine Untergruppe der additiven Gruppe des ℂn (eine Translationsgruppe). Zwei Punkte des ℂn sollen äquivalent heißen, wenn sie durch eine Translation aus Γ hervorgehen, d. h.: ζζ′ genau dann, wenn ζζ ∈ Γ. Man versieht die Menge aller Äquivalenzklassen mit der feinsten Topologie, für die die kanonische Projektion πT : ℂnTn stetig ist. Den topologischen Raum Tn = ℂn/ Γ bezeichnet man als einen n-dimensionalen komplexen Torus. Je zwei n-dimensionale komplexe Tori sind zueinander homöomorph. Man kann zeigen, daß πT eine offene Abbildung ist. Für einen beliebigen Punkt ζ0 ∈ ℂn ist die Menge \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}{F}_{{\zeta }_{0}} & := & \{\zeta ={\zeta }_{0}+\displaystyle \sum _{\nu=1}^{2n}{r}_{\nu}{c}_{\nu}:{r}_{\nu}\in\ {\mathbb{R}}\ \text{und}\\ & & -\frac{1}{2}\lt {r}_{\nu}\lt \frac{1}{2}\ \text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\ \nu=1,\ldots,2n\}\end{array}\end{eqnarray}

offen im ℂn. Ist Uζ0 := πT(Fζ0), dann ist Uζ0 := (πT | Fζ0)−1 : Uζ0Fζ0 ein komplexes Koordinatensystem für den Torus, und die Menge aller Uζ0 überdeckt den ganzen Torus. Es gilt:

Tn ist eine kompakte n-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit, die kanonische Projektion πT : ℂnTn ist holomorph.

Da die komplexe Struktur auf Tn von den Vektoren c1, …, c2n abhängt, schreibt man auch Tn = Tn (c1, …, c2n).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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