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Lexikon der Mathematik: Komplexifizierung

Verfahren zur Konstruktion eines komplexen Vektorraumes V aus einem gegebenen reellen Vektorraum V. Dabei wird in kanonischer Weise – wie bei der axiomatischen Einführung von ℂ – die Menge V := V × V eingeführt mit den Operationen \begin{eqnarray}\begin{array}{llll}+: & {V}_{{\mathbb{C}}}\times {V}_{{\mathbb{C}}} & \to & {V}_{{\mathbb{C}}}\\ & (({u}_{1},{v}_{1}),({u}_{2},{v}_{2})) & \mapsto & ({u}_{1}+{v}_{1},{u}_{2}+{v}_{2})\\ \because & {\mathbb{C}}\times {V}_{{\mathbb{C}}} & \to & {V}_{{\mathbb{C}}}\\ & ((\alpha +i\beta ),(u,v)) & \mapsto & (\alpha u-\beta v,\beta u+\alpha v).\end{array}\end{eqnarray}

+ definiert die Addition, · die Skalarenmutliplikation, wobei wir Elemente in ℂ bereits in der Form \begin{eqnarray}\text{Realteil}+i\ \text{Imagin}\mathrm{\ddot{a}}\text{rteil}\end{eqnarray}

geschrieben haben. Dazu analog hat man folgende Schreibweise, wobei uV als Realteil und vV als Imaginärteil bezeichnet werden: u + ivV. Damit kann man schreiben: \begin{eqnarray}\begin{array}{l}({u}_{1}+i{v}_{1})+({u}_{2}+i{v}_{2})=({u}_{1}+{v}_{1})+i({u}_{2}+{v}_{2})\\ (\alpha +i\beta )\cdot (u+iv)=(\alpha u-\beta v)+i(\beta u+\alpha v).\end{array}\end{eqnarray}

Durch Komplexifizierung lassen sich oftmals Probleme im reellen Vektorraum auf leichter hand-habbare im Komplexen zurückführen, wo z. B. der Fundamentalsatz der Algebra eine Zerlegung jedes Polynoms in Linearfaktoren erlaubt. Die erzielten Resultate in VC lassen sich dann durch Realisierung auf den ursprünglichen, reellen Fall zurückführen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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