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Lexikon der Mathematik: Kondition eines linearen Gleichungssystems

Eigenschaft des linearen Gleichungssystems Ax = b mit A ∈ ℝn×n, b ∈ ℝn, welche beschreibt, welche Auswirkungen kleine Änderungen in A und b auf die Lösung x des linearen Gleichungssystems haben.

Die Kondition ist eine Eigenschaft des Problems, nicht des gewählten numerischen Verfahrens zur Lösung des Problems.

Bei der Herleitung eines linearen Gleichungssystems aus einem Anwendungsproblem erhält man die Elemente der Matrix A und der rechten Seite b häufig aus Messungen, die nur mit beschränkter Genauigkeit durchgeführt werden können, oder als Ergebnis von numerischen Berechnungen, welche unvermeidlich mit kleinen Fehlern behaftet sind.

Man hat daher meist nicht exakt die Matrix A und den Vektor b gegeben, sondern mit (kleinen) Störungen behaftete Daten A + E und b + f für eine Störungsmatrix E ∈ ℝn×n und einen Störungsvektor f ∈ ℝn.

Man betrachtet die Frage, wie sich x und y unterscheiden, wenn x Lösung von Ax = b und y Lösung von \begin{eqnarray}(A+E)y=b+f\end{eqnarray}

ist. Ist ||A−1|| ||E|| < 1, dann existiert (A+E)−1 und \begin{eqnarray}\frac{||x-y||}{||x||}\le \frac{\kappa (A)}{1-||{A}^{-1}||||E||}(\frac{||E||}{||A||}+\frac{||f||}{||b||})\end{eqnarray}

mit der Konditionszahl \begin{eqnarray}\kappa (A)=||{A}^{-1}||\text{}||A||.\end{eqnarray}

Speziell für E = 0 gilt Ay = b + f und \begin{eqnarray}\frac{||x-y||}{||x||}\le \kappa (A)\cdot \frac{||f||}{||b||}.\end{eqnarray}

Die Konditionszahl κ(A) ist die entscheidende Größe in diesen Abschätzungen, welche die Empfindlichkeit der Lösung x gegenüber Änderungen E und f beschreibt. Ist κ(A) groß, so bewirken kleine Änderungen f in b große Änderungen (yx) in der Lösung x. Man spricht in diesem Fall von einem schlecht konditionierten linearen Gleichungssystem. Ist κ(A) hingegen klein, so bewirken kleine Änderungen in b kleine Änderungen in der Lösung des Problems. Man spricht in diesem Fall von einem gut konditionierten linearen Gleichungssystem.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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