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Lexikon der Mathematik: Kondition

Maß für die Stabilität einer Problem-stellung, auf Änderungen der Problemdaten zu reagieren. Allgemein spricht man von guter Kondition, wenn der Einfluß solcher Änderungen auf die Lösung nur gering ist, ansonsten von schlechter Kondition. Konditionsanalyse ist normalerweise auch Bestandteil der Fehleranalyse bei numerischen Verfahren.

Bei linearen Gleichungssystemen der Form Ax = b mit Systemmatrix A dient als Maß für die Kondition die Konditionszahl κ(A) := ||A|| · ||A−1||. Ist nämlich Δb eine Veränderung der rechten Seite b, so gilt für die daraus resultierende Änderung Δx von x die Abschätzung: \begin{eqnarray}\frac{||\Delta x||}{||x||}\le \kappa (a)\frac{||\Delta b||}{||b||}.\end{eqnarray}

Ein Störung der rechten Seite wirkt sich also um den Faktor κ(A) auf das Ergebnis aus, siehe auch Kondition eines linearen Gleichungssystems.

Eine vergleichbare Abschätzung existiert auch für die Nullstellenbestimmung eines Polynoms \begin{eqnarray}p(x)={a}_{0}{x}^{n}+{a}_{1}{x}^{n-1}+\ldots +{a}_{n}.\end{eqnarray}

Ist ζ eine r-fache Nullstelle von p, so ergibt die Ersetzung eines ai durch ai(1 + ϵ) in erster Näherung eine Verschiebung der Nullstelle in der Größenordnung \begin{eqnarray}|\varepsilon {|}^{1/r}{\left|\frac{r!{a}_{i}{\zeta }^{n-i}}{{\rho }^{(r)}(\zeta )}\right|}^{1/r},\end{eqnarray}

wobei p(r)(ζ ) die r-te Ableitung von p ist. Daran ist insbesondere zu erkennen, daß mehrfache Nullstellen (r > 1) grundsätzlich schlecht konditioniert sind (Kondition eines linearen Gleichungssystems).

[1] Stoer, J.: Einführung in die Numerische Mathematik I. Springer-Verlag Berlin, 1983.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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