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Lexikon der Mathematik: Konditionszahl

eine Maßzahl für die Kondition eines Problems.

Bei einem gut konditionierten Problem ist die Konditionszahl klein, und kleine Änderungen in den Daten bewirken nur kleine Änderungen in der Lösung des Problems. Ist die Konditionszahl groß, nennt man das Problem schlecht konditioniert, und kleine Änderungen in den Daten bewirken große Änderungen in der Lösung des Problems.

Für Matrizen A ∈ ℝn×n ist die Konditionszahl definiert als \begin{eqnarray}\kappa (A)=||{A}^{-1}||\text{}||A||\end{eqnarray}

bezüglich einer (submultiplikativen) Matrixnorm || · ||. Es gilt stets 1 ≤ κ(A).

Für die Zwei-Norm gilt \begin{eqnarray}{\kappa }_{2}(A)=||{A}^{-1}|{|}_{2}A|{|}_{2}={\sigma }_{1}/{\sigma }_{n},\end{eqnarray}

wobei σ1 der größte und σn der kleinste singuläre Wert von A ist. Ist κ(A) groß, so nennt man A eine schlecht konditionierte Matrix. Hingegen ist eine Matrix gut konditioniert, wenn κ(A) klein ist.

Mit Hilfe von κ(A) kann man die Kondition eines linearen Gleichungssystems Ax = b beschreiben. Ist A schlecht konditioniert, so bewirken kleine Änderungen in b große Änderungen in der Lösung x. Die Konditionszahl κ(A) beschreibt auch die Kondition eines linearen Ausgleichsproblems \begin{eqnarray}\min ||Ax-b||\end{eqnarray}

mit A ∈ ℝm×n, b ∈ ℝn, mn und Rang(A) = n.

Unter der Eigenwert-Konditionszahl einer diagonalisierbaren Matrix A = TDT− 1 mit D = diag(d1, …, dn) versteht man den Wert \begin{eqnarray}\hat{{\kappa }_{2}}(A)=\mathop{\min }\limits_{T\in {{\mathbb{C}}}^{n\times n},{T}^{-1}AT=D}||T|{|}_{2}||{T}^{-1}|{|}_{2}.\end{eqnarray}

Die Empfindlichkeit von Eigenwerten gegenüber Störungen in A hängt nicht von A, sondern von der Matrix der Eigenvektoren ab, welche A auf Diagonalgestalt transformiert.

Weiter gibt es individuelle Konditionszahlen einzelner Eigenwerte für eine detaillierte Untersuchung des Eigenwertproblems. Unter der Konditionszahl eines einfachen Eigenwertes λ von A versteht man den Wert \begin{eqnarray}\frac{1}{|{y}^{H}x|},\end{eqnarray}

wobei x, y ∈ ℂn mit Ax = λx, yHA = λyH und || x||2 = || y||2 = 1. Mit Hilfe dieser Eigenwertkonditionszahlen läßt sich die Kondition eines Eigenwertproblems Ax = λx beschreiben.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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