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Lexikon der Mathematik: Konfidenzintervall für die Varianz der Normalverteilung

eine spezielle Bereichsschätzung.

Sei X eine normalverteilte Zufallsgröße mit unbekanntem Erwartungswert EX := μ und unbekannter Varianz Var(X) := σ2. Sei X1, …, Xn eine Stichprobe von X, auf deren Basis die Stichprobenvarianz (empirische Streuung) \begin{eqnarray}{S}^{2}=\frac{1}{n-1}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\bar{X})}^{2}\end{eqnarray}

berechnet wird. Die Zufallsvariable \begin{eqnarray}U:=\frac{(n-1){S}^{2}}{{\sigma }^{2}}\end{eqnarray}

besitzt dann eine χ2-Verteilung mit (n − 1) Freiheitsgraden. Bezeichnet man mit \begin{eqnarray}{\chi }_{n-1}^{2}\left(1-\frac{\alpha }{2}\right)\text{und}\ {\chi }_{n-1}^{2}\left(\frac{\alpha }{2}\right)\end{eqnarray}

das \((1-{\scriptstyle \frac{\alpha }{2}})\) und das \({\scriptstyle \frac{\alpha }{2}}\)-Quantil der χ2-Verteilung mit n − 1 Freiheitsgraden, so folgt also sofort: \begin{eqnarray}\begin{array}{ll}1-\alpha & \\ =P\left({\chi }_{n-1}^{2}\left(\frac{\alpha }{2}\right)\le \frac{(n-1){S}^{2}}{{\sigma }^{2}}\le {\chi }_{n-1}^{2}\left(1-\frac{\alpha }{2}\right)\right) & \\ =P\left(\frac{(n-1){S}^{2}}{{\chi }_{n-1}^{2}(1-{\scriptstyle \frac{\alpha }{2}})}\le {\sigma }^{2}\le \frac{(n-1){S}^{2}}{{\chi }_{n-1}^{2}({\scriptstyle \frac{\alpha }{2}})}\right).\end{array}\end{eqnarray}

Folglich ist das Intervall \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}I=[\frac{(n-1){S}^{2}}{{\chi }_{n-1}^{2}(1-{\scriptstyle \frac{\alpha }{2}})},\frac{(n-1){S}^{2}}{{\chi }_{n-1}^{2}({\scriptstyle \frac{\alpha }{2}})}]\end{array}\end{eqnarray}

eine Konfidenzschätzung bzw. ein Konfidenzintervall für σ2 zur Überdeckungswahrscheinlichkeit 1 − α.

Besitzt X keine Normalverteilung, so besitzt die in (1) definierte Größe die χ2 -Verteilung nur asymptotisch für n → ∞. Das in (2) angegebene Intervall erreicht die Überdeckungswahrscheinlichkeit 1−α dann auch nur asymptotisch für n → ∞ und kann nur bei hinreichend großem Stichprobenumfang n verwendet werden.

Ein Beispiel. Bei der Herstellung von größeren Maschinenbauteilen soll die Länge einer bestimmten Seite eine vorgegebene Norm einhalten. Bei der Produktion kommt es zu zufälligen Abweichungen von dieser Norm. Es sei bekannt, daß diese Abweichungen normalverteilt um den Erwartungswert 0 schwanken. Gesucht ist ein Konfidenzintervall für die Varianz σ2 der Abweichungen zur Überdeckungswahrscheinlichkeit von 98 Prozent. Aus einer Stichprobe von n = 20 Bauteilen ergibt sich eine Schätzung für die Varianz von \begin{eqnarray}{s}^{2}={(4,4\text{mm})}^{2}\end{eqnarray}

Für die Quantile \({\chi }_{n-1}^{2}(1-{\scriptstyle \frac{\alpha }{2}})={\chi }_{19}^{2}(0.99)\) und \({\chi }_{n-1}^{2}({\scriptstyle \frac{\alpha }{2}})={\chi }_{19}^{2}(0.01)\) der χ2-Verteilung liest man aus einer entsprechenden Tabelle den Wert ab: \begin{eqnarray}{\chi }_{19}^{2}(0.99)-36,191\text{und}{\chi }_{19}^{2}(0.01)=\mathrm{7.633.}\end{eqnarray}

Damit lautet das konkrete Konfidenzintervall für σ2: \begin{eqnarray}[\frac{19{\dot{(}4,4)}^{2}}{36,191};\frac{19{\dot{(}4,4)}^{2}}{7,633}]=[10,164;48,191].\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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