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Lexikon der Mathematik: Konfidenzschätzung für eine unbekannte Verteilungsfunktion

Technik aus der Statistik.

Es sei X eine Zufallsgröße mit der stetigen unbekannten Verteilungsfunktion F. Für F kann man mit Hilfe der aus einer Stichprobe von X ermittelten empirischen Verteilungsfunktion Fn eine Konfidenzschätzung I für F zum Konfidenzniveau α wie folgt angeben: Da die Verteilungsfunktion von \begin{eqnarray}{D}_{n}^{* }:=\sqrt{n}\mathop{\text{sup}}\limits_{x\in {\mathbb{R}}}|{F}_{n}(x)-F(x)|\end{eqnarray}

für n → ∞ gegen die Kolmogorow-Verteilung (empirische Verteilungsfunktion) konvergiert, ist (für große n) die Wahrscheinlichkeit dafür, daß \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}I & = & \{(x,y)\in {{\mathbb{R}}}^{2}\vert-\infty \lt x\lt \infty,\\ & & {F}_{n}(x)-\frac{{\lambda }_{\alpha }}{\sqrt{n}}\lt y\lt {F}_{n}(x)+\frac{{\lambda }_{\alpha }}{\sqrt{n}}\}\end{array}\end{eqnarray}

die Verteilungsfunktion F überdeckt, näherungsweise gleich α, wobei λα das α-Quantil der Kolmogorow-Verteilung bedeutet. Daher ist I eine (asymptotische) Konfidenzschätzung für F zum Konfidenzniveau α. Für kleine Stichprobenumfänge muß man auf die Quantile der exakten Verteilung von Dn zurückgreifen, die zum Beispiel [1] zu entnehmen sind, siehe auch Kolmogorow-Test.

[1] Müller, P.H., Neumann, P., Storm, R.: Tafeln der mathematischen Statistik. Fachbuchverlag Leipzig, 1979 (32. Aufl.).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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