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Lexikon der Mathematik: Konfokale

konfokale Schar von Quadriken, einparametrige Familie von homogenen Quadriken in einem n-dimensionalen reellen Vektorraum V, die folgendermaßen definiert wird.

Seien A und und E quadratische Formen im Dual-raum von V, wobei E positiv definit ist. Dann existiert die quadratische Form (AλE)−1 in V für alle reellen Zahlen λ (bis auf höchstens n Ausnahmen); die dadurch definierte Schar von Quadriken heißt konfokal.

Für n = 2 und A positiv definit erhält man im allgemeinen Fall eine Familie von Ellipsen und Hyperbeln, die dieselben Brennpunkte haben, im Falle des ℝ3 eine Familie von Quadriken, die mit einer festen Quadrik gemeinsame Brennpunkte haben. Hat die genannte feste Quadrik die Gleichung x2/a + y2/b + z2/c = 1 mit paarweise verschiedenen reellen Zahlen a, b, c, die ungleich Null sind, so haben die Konfokalen die Gleichung \begin{eqnarray}\frac{{x}^{2}}{a-\lambda }+\frac{{y}^{2}}{b-\lambda }+\frac{{z}^{2}}{c-\lambda }=1,\end{eqnarray}

wobei λ ein reeller Parameter ist. Durch jeden Punkt von ℝ3 gehen genau drei dieser Konfokalen, und zwar ein Ellipsoid, ein einschaliges Hyper-boloid und ein zweischaliges Hyperboloid.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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