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Lexikon der Mathematik: konforme Abbildung zwischen Riemannschen Mannigfaltigkeiten

auch winkeltreue Abbildung genannt, eine Abbildung zwischen Riemannschen Mannigfaltigkeiten M, die den Winkel zwischen Kurven fest läßt.

Sind f, g : MM zwei bijektive konforme Transformationen, so ist auch ihre Verknüpfung fg : MM konform, ebenso wie die inverse f−1 : MM. Die bijektiven konformen Abbildungen von M in sich bilden daher eine Gruppe, die die Gruppe aller Isometrien von M als Untergruppe enthält.

Einfachste Beispiele konformer Abbildungen des n-dimensionalen Euklidischen Raumes ℝn sind Verknüpfungen DλA von Dehnungen \({D}_{\lambda}:{\mathfrak{x}}\in {{\mathbb{R}}}^{n}\to \lambda\,{\mathfrak{x}}\in {{\mathbb{R}}}^{n}\) mit orthogonalen Transformationen A. Ein Beispiel einer nichtlinearen konformen Abbildungen ist die Spiegelung \begin{eqnarray}\sigma :{\mathfrak{x}}\in {{\mathbb{R}}}^{n}\backslash \{0\}\to \frac{{\mathfrak{x}}}{||{\mathfrak{x}}||}\in {{\mathbb{R}}}^{n}\backslash \{0\}\end{eqnarray}

am Einheitskreis.

Weiterhin ist die stereographische Projektion von einem Projektionspol PSn τP : Sn \{P} → ℝn der n-dimensionalen Sphäre Sn auf den ℝn zu nennen. Wählt man als Projektionspole Nordpol N und Südpol S von Sn, so gilt σ = τSτN.

Eine charakteristische Eigenschaft von konformen Abbildungen der Ebene in sich ist neben ihrer Winkeltreue auch ihre Kreisverwandtschaft.

Ähnliche Eigenschaften haben die konformen Transformationen offener Teilmengen des ℝn in sich in bezug auf Hypersphären und Hyperebenen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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