Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: konforme Abbildung

eine bijektive Abbildung f : GG eines Gebietes G ⊂ ℂ auf ein Gebiet G ⊂ ℂ, die an jedem Punkt z0G winkel- und orientierungstreu ist. Konforme Abbildungen werden daher gelegentlich auch als winkeltreue Abbildungen bezeichnet.

Zur Definition einer winkel- und orientierungstreuen Abbildung ist zunächst ein weiterer Begriff notwendig. Es sei γ : [0, 1] → ℂ ein glatter Weg (differenzierbarer Weg) mit Anfangspunkt z0 = γ (0). Dann heißt der Strahl { z0 + (0) : s ≥ 0 } die Halbtangente an γ im Punkt z0. Sind γ1 und γ2 zwei solche Wege, so ist der orientierte Winkel ∡(γ1, γ2) zwischen γ1 und γ2 an z0 definiert als Winkel zwischen ihren Halbtangenten, d. h. \begin{eqnarray}\measuredangle ({\gamma }_{1},{\gamma }_{2})=\text{Arg}\frac{{\gamma }_{\text{2}}^{\prime}(0)}{{\gamma }_{\text{1}}^{\prime}(0)},\end{eqnarray}

wobei Arg den Hauptwert des Arguments bezeichnet.

Eine Abbildung f : G → ℂ heißt winkel- und orientierungstreu an z0G, falls eine Umgebung UG von z0 existiert derart, daß f in U folgende Eigenschaften besitzt:

  1. f ist in U injektiv.
  2. f ist in U reell stetig differenzierbar.
  3. Für je zwei glatte Wege γ1, γ2 in U mit Anfangspunkt z0 gilt für den orientierten Winkel zwischen den (ebenfalls glatten) Bildwegen fγ1, fγ2 an f(z0) \begin{eqnarray}\measuredangle (f\circ {\gamma }_{1},f\circ {\gamma }_{2})=\measuredangle ({\gamma }_{1},{\gamma }_{2}).\end{eqnarray}

Gilt anstelle der 3. Bedingung nur \begin{eqnarray}|\measuredangle (f\circ {\gamma }_{1},f\circ {\gamma }_{2})|=|\measuredangle ({\gamma }_{1},{\gamma }_{2})|,\end{eqnarray}

so nennt man f eine an z0 winkeltreue Abbildung. Statt winkel- und orientierungstreu an z0 nennt man f auch konform an z0. Die Abbildung f : G → ℂ heißt lokal konform in G, falls sie an jedem Punkt z0G konform ist.

Eine in G holomorphe Funktion f mit f(z0) ≠ 0 für ein z0G ist konform an z0. Ist umgekehrt f : G → ℂ eine an z0G konforme Abbildung, so ist f an z0 komplex differenzierbar und f(z0) ≠ 0. Eine Abbildung f : G → ℂ ist also lokal konform in G genau dann, wenn sie in G holomorph ist und f(z) ≠ 0 für alle zG erfüllt. Schließlich ist f eine konforme Abbildung des Gebietes G auf das Gebiet G* genau dann, wenn f in G holomorph ist und G bijektiv auf G* abbildet. In diesem Fall sagt man auch, daß f eine biholomorphe Abbildung von G auf G* ist.

Ist f : GG eine konforme Abbildung, und hat man in G zwei Scharen glatter Wege derart, daß jeder Weg der einen Schar jeden Weg der anderen Schar senkrecht schneidet, so gilt das gleiche für die Scharen der Bildwege in G. Zum Beispiel bildet die Exponentialfunktion den Streifen G = {z ∈ ℂ : |Im z| < π} konform auf die geschlitzte Ebene G = ℂ = ℂ \ (−∞, 0] ab. Dabei gehen die zur reellen Achse parallelen Geraden in die vom Nullpunkt ausgehenden Strahlen über, während die zur imaginären Achse parallelen Geradenstücke in die Kreise um den Nullpunkt übergehen. Die Exponentialfunktion ist in ℂ nicht injektiv (liefert also keine konforme Abbildung von ℂ auf ℂ = ℂ \{0}) aber lokal konform. Die Abbildung zz2 liefert eine konforme Abbildung der Halbebene H ={z ∈ ℂ : Re z > 0 auf die geschlitzte Ebene ℂ. Sie ist in ℂ lokal konform, aber nicht injektiv. Weitere wichtige Abbildungen in diesem Zusammenhang sind die Joukowski-Abbildung und die Möbius-Transformation. Schließlich sei erwähnt, daß die Abbildung \(z\mapsto \bar{z}\) in jedem Punkt z0 ∈ ℂ winkeltreu, aber nicht orientierungstreu ist.

Zwei Gebiete G, G ⊂ ℂ heißen konform äquivalent, falls eine konforme Abbildung f von G auf G existiert. Die Gebiete G, G sind konform äquivalent genau dann, wenn sie Biholomorph äquivalente Gebiete sind. Sind G, G konform äquivalente Gebiete, und ist G m-fach zusammenhängend (m ∈ ℕ), so ist auch Gm-fach zusammenhängend. Allerdings sind je zwei m-fach zusammenhängende Gebiete nicht automatisch konform äquivalent. Weitere Ausführungen zu diesem Thema sind unter dem Stichwort Riemann-scher Abbildungssatz zu finden.

Dieser zentrale Satz garantiert, daß jedes einfach zusammenhängende Gebiet G ≠ ℂ konform auf die offene Einheitskreisscheibe \({\Bbb E}\) abgebildet werden kann. Jedoch ist die praktische Berechnung konformer Abbildungen im allgemeinen schwierig und nur in wenigen Fällen explizit möglich. Eine Methode zur konformen Abbildung von Polygon-gebieten (einfach zusammenhängende Gebiete, die von einem Polygonzug berandet werden) auf \({\Bbb E}\) liefert die Schwarz-Christoffelsche Abbildungsformel. Über das Randverhalten konformer Abbildungen wird in einem eigenen Stichwort berichtet.

Konforme Abbildungen spielen eine wichtige Rolle in den Anwendungen, zum Beispiel in der Aero- und Hydrodynamik sowie der Elektrotechnik.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos