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Lexikon der Mathematik: konforme Parameterdarstellung

isotherme Parameterdarstellung, eine Parameterdarstellung Φ(u, v) einer regulären Fläche ℱ ⊂ ℝ3, in der die Koeffizienten E, F, G der ersten Gaußschen Fundamentalform die Gleichungen \begin{eqnarray}E(u,v)-F(u,v)=G(u,v)=0\end{eqnarray}

erfüllen.

Die Abbildung Φ(u, v) selbst ist dann als Abbildung zwischen zwei Flächen konform, daher der Name.

In einer konformen Parameterdarstellung ist die Gaußsche Krümmung von durch \begin{eqnarray}k(u,v)=-\frac{\Delta \mathrm{log}(E(u,v))}{2E(u,v)}\end{eqnarray}

gegeben, wobei Δ = 2/∂u2 + 2/∂v2 der gewöhnliche Laplaceoperator ist.

Jeder Punkt einer regulären Fläche besitzt eine Umgebung in , auf der sich eine konforme Parameterdarstellung einführen läßt. Sind Φ1 : U1 ⊂ ℝ2V und Φ2 : U2 ⊂ ℝ2V zwei bijektive konforme Parameterdarstellungen desselben Gebietes V, so ist die Übergangstransformation \begin{eqnarray}{\Phi }_{2}\circ {\Phi }_{1}^{-1}:{U}_{1}\to {U}_{2}\end{eqnarray}

dieser beiden Koordinatensysteme auf V als Abbildung zwischen zwei offenen Gebieten U1 und U2 von ℝ2 = ℂ holomorph. Daher ist jede reguläre Fläche im ℝ3 eine eindimensionale komplexe analytische Mannigfaltigkeit.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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