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Lexikon der Mathematik: Kongruenz-ζ-Funktion

eine starke Verallgemeinerung der Riemannschen ζ -Funktion.

Ist X ein algebraisches Schema über einem endlichen Körper 𝔽q = k mit q Elementen, so sei Nn die Anzahl der Punkte in \(X({\mathbb{F}}_{{q}^{n}})\), und Z(X, t) die formale Potenzreihe mit Z(0) = 1 und \begin{eqnarray}t\frac{d}{dt}\mathrm{log}Z(t)=\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{N}_{n}{t}^{n}.\end{eqnarray}

Dies ist eine rationale Funktion, beispielsweise ist \begin{eqnarray}Z({{\mathbb{A}}}_{k}^{n},t)=\frac{1}{1-{q}^{n}t}\end{eqnarray}

oder \begin{eqnarray}Z({\mathbb{P}}_{k}^{n},t)=\displaystyle \prod _{v=0}^{n}\frac{1}{1-{q}^{v}t}.\end{eqnarray}

Ist x abgeschlossener Punkt von X mit k(x) = 𝒪X,x/𝔪X,x und [k(x) : k] = d, und m durch d teilbar, so gibt es genau d Punkte in X(𝔽qm), die über x liegen entsprechend den d Einbettungen k(x) → 𝔽qm über k. Daher ist \(\frac{1}{1-{t}^{d}}\) der Beitrag von x zur ζ-Funktion, und es ist \begin{eqnarray}Z(X,t)=\displaystyle \prod _{x\in X}\frac{1}{1-{t}^{[k(x):k]}}.\end{eqnarray}

Ist \({Z}_{0}^{+}(X)\) die Mengen aller nicht-negativen algebraischen Zyklen der Dimension 0 auf X, so ist also \begin{eqnarray}Z(X,t)=\displaystyle \sum _{z\in {Z}_{0}^{+}(X)}{t}^{\deg (z)}\end{eqnarray}

(wenn z = Σnjxj, so ist deg(z) = Σnj[k(xj) : k]). Führt man eine neue Variable s durch t = qs ein, so ist \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}\zeta (X,s)=:Z(X,{q}^{-s}) & = & \displaystyle \prod _{x\in X}\frac{1}{1-N{(x)}^{-s}}\\ & = & \displaystyle \sum _{z\in {Z}_{0}^{+}(X)}N{(z)}^{-s},\end{array}\end{eqnarray}

dabei ist N(x) die Anzahl der Elemente von k(x), und \(N(z)={\Pi }_{j}N{({x}_{j})}^{{n}_{j}}\) für z = Σnjxj. Insofern ist die Kongruenz-ζ-Funktion Spezialfall folgender ζ-Funktionen: Wenn X algebraisches Schema über ℤ ist, so ist für jeden abgeschlossenen Punkt xX der Restklassenkörper endlich, und damit N(x) und N(z) für \(z\in {Z}_{0}^{+}(X)\) wie oben definiert. Die zu X gehörige ζ -Funktion ist \begin{eqnarray}\zeta (X,s)=\displaystyle \prod _{x\in X}\frac{1}{1-N{(x)}^{-s}}=\displaystyle \sum _{z\in {Z}_{0}^{+}}N{(x)}^{-s}\end{eqnarray}

(die beiden Ausdrücke sind konvergent für Re(s) > dim X). Für X = Spec (ℤ) ist dies die Riemannsche ζ-Funktion.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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