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Lexikon der Mathematik: konjugiert komplexe Zahl

die zu einer komplexen Zahl z = x + iy definierte komplexe Zahl \(\bar{z}:=x-iy\). Man nennt \(\bar{z}\) auch die zu z gespiegelte Zahl, da sie geometrisch durch Spiegelung von z an der reellen Achse entsteht.

Es gelten folgende Rechenregeln: \begin{eqnarray}\begin{array}{l}\begin{array}{cc}\overline{w+z}=\bar{w}+\bar{z}, & \begin{array}{cc}\overline{wz}=\bar{w}\bar{z}, & \bar{\bar{z}}=z,\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{cc}\mathrm{Re}\,z=\frac{1}{2}(z+\bar{z}), & \mathrm{Im}\,z=\frac{1}{2i}(z-\bar{z}),\end{array}\\ \begin{array}{cc}z\bar{z}={x}^{2}+{y}^{2}, & z=x+iy,\end{array}\\ z=\bar{z}\iff z\in \mathbb{R}.\end{array}\end{eqnarray}

Die Abbildung ¯ : ℂ → ℂ, \(z\mapsto \bar{z}\) nennt man Konjugation. Sie ist auf Grund der obigen Rechenregeln ein involutorischer Körperautomorphismus mit dem Fixkörper ℝ, d. h. sie ist zu sich selbst invers, und es gilt \(\bar{x}\) = x für alle x ∈ ℝ.

Man kann zeigen: Ist φ : ℂ → ℂ ein Körperautomorphismus mit ℝ als Fixkörper, so gilt entweder ϕ(z) = z für alle z ∈ ℂ oder \(\phi (z) = \bar z\) für alle z ∈ ℂ.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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