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Lexikon der Mathematik: konjugierte Reihe

die zu der Fourier-Reihe einer Funktion f, \begin{eqnarray} {\mathcal F} (f)(x)=\frac{{a}_{0}}{2}+\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }({a}_{k}\cos kx+{b}_{k}\sin kx),x\in \mathbb{R},\end{eqnarray}

durch \begin{eqnarray}\tilde{ {\mathcal F} }(f)(x)=\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }(-{b}_{k}\cos kx+{a}_{k}\sin kx),x\in \mathbb{R},\end{eqnarray}

definierte Reihe. Ist \begin{eqnarray}S(x)=\frac{{a}_{0}}{2}+\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }({a}_{k}-i{b}_{k}){e}^{ikx}\end{eqnarray}

mit ak, bk ∈ ℝ, so gilt (f)(x) = Re S(x) und \(\tilde{ {\mathcal F} }(f)(x)=\mathrm{Im}\,S(x)\). Für \(f\in {L}^{1}([-\pi, \pi ])\) ist \(\tilde{ {\mathcal F} }(f)(x)\) für α > 0 (C, α)-summierbar mit Grenzwert \(\tilde{f}(x)\), wobei \(\tilde{f}\) die zu f konjugierte Funktion bezeichnet.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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