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Lexikon der Mathematik: konsistentes logisches System

im engeren Sinne eine Menge logischer Axiome und ein System logischer Ableitungsregeln so, daß allein mit Hilfe der Ableitungsregeln aus diesem Axiomensystem kein Widerspruch formal beweisbar ist, d. h., es gibt keine Aussage A, die zusammen mit ihrer Negation ¬ A aus den Axiomen herleitbar ist. Eine andere Bezeichnung für „konsistent“ ist „syntaktisch widerspruchsfrei“. Das Pendant zu konsistent ist semantisch widerspruchsfrei, d. h., aus dem Axiomensystem läßt sich kein Widerspruch inhaltlich folgern, oder anders ausgedrückt, das Axiomensystem besitzt ein Modell.

Allgemeiner kann ein logisches System wie folgt definiert werden: Gegeben sei eine formale Sprache (elementare Sprache) und ihre (durch Definition festgelegte) Satzmenge LS (:= Menge von Ausdrücken oder Aussagen). Weiterhin sei 𝕂 eine geeignete Klasse von Strukturen (algebraische Strukturen) im Sinne der universellen Algebra und ⊨ eine Relation zwischen den Elementen aus LS und 𝕂 so, daß für jedes Σ ∈ LS und alle Strukturen 𝒜 ∈ 𝕂 stets gilt: \begin{eqnarray}{\scr{A}}|=\Sigma \iff \text{jedes}\,\phi \in \Sigma \,\text{ist in}\,\,{\scr{A}}\,\,\text{g}{\rm{\ddot{u}}}\text{ltig}\text{.}\end{eqnarray}

Ein logisches System 𝒮 besteht aus einer formalen Sprache L, einer zugehörigen Klasse 𝕂 von Strukturen (den L-Strukturen), einer Menge B von formalen Beweis-oder Schlußregeln, die jeder Satzmenge Σ aus LS eine Satzmenge ΣLS zuordnet (:= Menge der aus Σ durch Schlußregeln beweisbaren Sätze) und einer Relation ⊨ mit der oben skizzierten Eigenschaft.

Ein solches System heißt konsistent, wenn die Beweisregeln die Gültigkeit vererben, d. h., wenn für jedes 𝒜 ∈ 𝕂 aus 𝒜 ⊨ Σ stets 𝒜 ⊨ Σ folgt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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