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Lexikon der Mathematik: Konsistenz eines Diskretisierungsverfahrens

Verhalten des lokalen Diskretisierungsfehlers für verschwindende Schrittweite.

Bei einem Einschrittverfahren mit Verfahrensfunktion (x, y, h) zur Lösung der Aufgabe y = f(x, y) bedeutet Konsistenz, daß die Bedingung \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{h\to 0}\Phi (x,y,h)=f(x,y)\end{eqnarray}

erfüllt sein muß. Die Fehlerordnung klassifiziert darüber hinaus die jeweilige Konsistenz.

Bei Mehrschrittverfahren setzt sich diese Begriffsbildung allgemeiner fort durch die Forderung der Existenz einer Funktion σ(h) mit limh→0 σ(h) = 0, durch die sich der lokale Diskretisierungsfehler δ(x, y, h) betragsmäßig für alle x abschätzen läßt.

Ähnliches läßt sich auch für explizite Differenzenverfahren bei partiellen Differentialgleichungen formulieren. Für ein Problem in einer Zeitvariablen t und einer Ortsvariablen x lassen sich diese Verfahren beispielsweise allgemein darstellen in der Form \begin{eqnarray}{\tilde{u}}^{(k+1)}(x):=\Phi ({\tilde{u}}^{(k)}(x),\Delta t)+\Delta tg(x).\end{eqnarray}

Dabei approximiert \({\tilde{u}}^{(k)}(x)\) die unbekannte Funktion u(t, x) für t = t0 + kΔtT, k = 1, 2, …. Die Diskretisierung in x-Richtung mit Schrittweite Δx ist der Übersicht halber hier nicht explizit angegeben, lediglich das Verhältnis λ = Δtx soll konstant sein (vgl. z. B. Friedrichs-Schema). Ein solches Verfahren heißt dann konsistent, falls \begin{eqnarray}\mathop{\sup }\limits_{0\le t\le T}\frac{\Vert \Phi (u(x),\Delta t)-u(t+\Delta t,x)\Vert }{\Delta t}\to 0\end{eqnarray} für Δt → 0 (mit geeignet gewählter Norm).

[1] Stoer, J.; Bulirsch, R.: Einführung in die Numerische Mathematik II. Springer-Verlag, Berlin, 1978.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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