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Lexikon der Mathematik: konstante Garbe

Untergarbe der Garbe 𝒪 der Keime der holomorphen Funktionen.

Sei B ⊂ ℂn ein Bereich und MW = ℂ und \({r}_{V}^{W}=i{d}_{\mathbb{C}}\) für alle offenen Teilmengen V, WB. Dann ist \(\{{M}_{W},{r}_{V}^{W}\}\) ein Garbendatum von ℂ-Algebren, speziell sogar von Körpern. Sei 𝒜 die zugehörige Garbe. Es ist \(({W}_{1},{c}_{1})\mathop{\thicksim}\limits^{\zeta }({W}_{2},{c}_{2})\) für zwei Repräsentanten eines Elementes aus dem Halm 𝒜ζ genau dann, wenn c1 = c2, d. h. es ist 𝒜ζ = ℂ für alle ζ ∈ B. Ist s ∈ Γ (W, A) und ζ ∈ W, so liegt c := s (ζ) in 𝒜ζ = ℂ = MW, und es ist rc (ζ) = c = s (ζ) für den Isomorphismus von ℂ-Algebren r : MW → Γ (W, 𝒜). Es gibt dann eine Umgebung V (ζ) ⊂ W mit s | V = rc | V, d. h. s (ζ) = c für ζ ∈ V. Man kann s als eine lokal konstante komplexe Funktion auffassen.

Man bezeichnet 𝒜 als die konstante Garbe der komplexen Zahlen. Offensichtlich ist 𝒜 eine Untergarbe der Garbe 𝒪 der Keime der holomorphen Funktionen auf B.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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