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Lexikon der Mathematik: Konstanten der Mathematik

Zahlen mit einer gewissen universellen Bedeutung, die in vielen, auf den ersten Blick teilweise erstaunlichen Zusammenhängen in Mathematik und Natur auftreten, wie die Kreiszahl π = 3.14159…, die Eulersche Zahl e = 2.71828…, die Zahl τ = 1.61803… des goldenen Schnitts, die Euler-Mascheroni-Konstante (Eulersche Konstante) γ = 0.57721… und die Feigenbaum-Konstante δ = 4.66920….

So läßt sich π als Verhältnis des Kreisumfangs zum Kreisdurchmesser definieren (wobei es keine selbstverständliche, sondern eine beweiswürdige Tatsache ist, daß dieses Verhältnis konstant, d. h. für alle Kreise gleich, ist) oder als Doppeltes der kleinsten positiven Nullstelle der Cosinusfunktion, und e völlig unabhängig davon als Wert der Exponentialfunktion an der Stelle 1, also \begin{eqnarray}e=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}.\end{eqnarray}

Die beiden Zahlen sind aber durch die Euler-Formel e + 1 = 0 miteinander und mit den grundlegenden Zahlen 0, 1, i verbunden und hängen beispielsweise auch über die Eulersche Γ-Funktion durch \begin{eqnarray}\sqrt{\pi }=\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)=\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\frac{dx}{{e}^{x}\sqrt{x}}\end{eqnarray}

zusammen. Für e gelten ferner die überraschenden Beziehungen \(e={\mathrm{lim}}_{n\to \infty }{(1+\frac{1}{n})}^{n}\) und \(e={\mathrm{lim}}_{n\to \infty }\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}\), und \(\frac{1}{e}\) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß bei einer zufälligen Verteilung von N Elementen auf N Plätze kein Element an einem vorgegebenen Platz landet. \begin{eqnarray}\tau =\frac{1}{2}(\sqrt{5}+1)\end{eqnarray}

ist der Grenzwert des Verhältnisses zweier aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen, die Leonardo von Pisa (genannt Fibonacci) bei seinen Überlegungen zur Fortpflanzung von Kaninchen einführte, und die auch in der Botanik beim Wachstum von Blättern und Blüten zu beobachten sind.

Die Eulersche Konstante \begin{eqnarray}\gamma =\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }\left(\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\mathrm{ln}\space n\right)\end{eqnarray}

läßt sich auf vielerlei Weise als Integral schreiben, z. B. \(\gamma =-\displaystyle {\int }_{0}^{\infty }{e}^{-x}\) ln x dx oder \(\gamma =\displaystyle \int_{0}^{1}\) ln ln x dx, und tritt an unterschiedlichsten Stellen der Mathematik, insbesondere in der Zahlentheorie, auf. So hat 1838 Peter Gustav Lejeune-Dirichlet gezeigt, daß die Anzahl der Teiler der Zahlen 1,…, n die Größe \begin{eqnarray}n\space \mathrm{ln}\space n+(2\gamma -1)n+O(\sqrt{n})\end{eqnarray}

hat.

δ läßt sich beim Übergang verschiedenster dynamischer Systeme von der Ordnung ins Chaos beobachten. Dieser Übergang ist gekennzeichnet durch Periodenverdopplungen des dynamischen Systems bei Variation der Parameter. Das Parameterverhältnis aufeinanderfolgender Periodenverdopplungen konvergiert dabei gegen δ.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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