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Lexikon der Mathematik: Konstruktion mit Zirkel und Lineal

ist die Aufgabe, ausgehend von endlich vielen gegebenen Punkten a1, a2, …, an in der reellen Ebene weitere Punkte mit gewissen Eigenschaften zu konstruieren.

Das Lineal darf hierbei benutzt werden, um eine Gerade zwischen zwei vorgegeben Punkten ai und aj zu ziehen. Der Zirkel darf benutzt werden, um einen Kreis um ai mit dem Radius gleich der Strecke zwischen ai und einem weiteren Punkt aj zu ziehen. Die erhaltenen Schnittpunkte zweier Geraden, zweier Kreise und einer Gerade und eines Kreises sind die neu konstruierten Punkte. Ein Punkt heißt konstruierbar, falls er nach endlich vielen solchen Konstruktionsprozessen als Schnittpunkt erhalten werden kann.

Führt man kartesische Koordinaten ein und gibt die Punkte durch ihre Koordinaten, so können die Koordinaten eines konstruierbaren Punkts durch eine Abfolge von rationalen Operationen und Quadratwurzelziehen aus den Koordinaten der Ausgangspunkte ermittelt werden. Genauer gilt: Der Punkt x ist genau dann konstruierbar, falls seine Koordinaten in einer Galois-Erweiterung vom Grad 2m (m ∈ ℕ0) über dem Körper, der durch die Ausgangskoordinaten definiert ist, liegt. Daraus folgt, daß weder das Delische Problem der Würfelverdoppelung, noch die Dreiteilung eines beliebigen Würfels, noch die Quadratur des Kreises durch Zirkel und Lineal lösbar sind. Desweiteren liefert dies auch eine Aussage, genau für welche n eine Konstruktion des regulären n-Ecks möglich ist. Man vergleiche hierzu auch Galois-Theorie.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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