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Lexikon der Mathematik: Konstruktion von transzendenten Zahlen

Methode zur expliziten Gewinnung transzendenter Zahlen durch Kettenbrüche.

Ist x = [a0, a1, … ] der unendliche, regelmäßige Kettenbruch einer reellen Zahl x, und ist \begin{eqnarray}\frac{{p}_{n}}{{q}_{n}}=[{a}_{0,\ldots, }{a}_{n}]\end{eqnarray}

der n-te Näherungsbruch, so impliziert der Liouvillesche Approximationssatz, daß \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}\sup }\limits_{n\to \infty }\frac{\mathrm{log}\space {a}_{n+1}}{\mathrm{log}\space {q}_{n}}=\infty \end{eqnarray}

eine hinreichende Bedingung für die Transzendenz von x ist. Daher lassen sich transzendente Zahlen dadurch gewinnen, daß man unendliche Kettenbrüche mit genügend schnell anwachsenden Folgen von Teilnennern (an) definiert. Beispielsweise definiert für beliebiges Anfangsglied a0 ∈ ℤ und eine beliebige Grundzahl g ∈ ℤ, g ≥ 2, der Kettenbruch \begin{eqnarray}[{a}_{0},{g}^{1!},{g}^{2!},\ldots, {g}^{n!},\ldots ]\end{eqnarray}

eine transzendente reelle Zahl.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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