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Lexikon der Mathematik: Kontaktgeometrie

differentialgeometrische Untersuchung der Kontaktmannigfaltigkeiten.

Eine Kontaktmannigfaltigkeit ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ungerader Dimension 2n + 1 ≥ 3, die mit einem Unterbündel ε der Kodimension 1 ihres Tangentialbündels TM ausgestattet ist, das, maximal nichtintegrabel‘ ist in dem Sinne, daß die Lie-Klammer zweier Vektorfelder X, Y, die beide Werte in ε annehmen, modulo ε ein nichtentartetes antisymmetrisches Bilinearformenfeld ε × εTM/ε definiert. Das Unterbündel ε wird Kontaktstuktur oder nichtentartetes Hyperebenenfeld genannt. Die Bezeichnung, Kontaktstruktur‘ rührt vom wichtigsten Beispiel der Kontaktgeometrie her, der Mannigfaltigkeit aller Kontaktelemente einer beliebig gegebenen differenzierbaren Mannigfaltigkeit N, PTN: Ein Kontaktelement bezeichnet einen beliebigen Unterraum der Kodimension 1 in einem belie-bigen Tangentialraum am Kontaktpunkt nN (wobei die Vorstellung zugrundeliegt, daß dieser Unterraum potentiell eine durch n gehende Untermannigfaltigkeit von N berühren kann). Diese Mannigfaltigkeit aller Kontaktelemente trägt eine kanonische Kontaktstruktur.

Die Kontaktgeometrie ist eng verknüpft mit der symplektischen Geometrie, da durch Hinzufügung einer Dimension für jede Kontakmannigfaltigkeit (M, ε) eine kanonische Symplektifizierung als exaktsymplektische Untermannigfaltigkeit des Kotangentialbündels von M existiert. Die Symplektifizierung der Mannigfaltigkeit aller Kontaktelemente von N beispielsweise ist identisch mit < ?PageNum 179dem Kotangentialbündel von N (ohne den Null-schnitt). Dies erlaubt die Zurückführung vieler kontaktgeometrischer Untersuchungen auf symplektische; ferner gibt es symplektische Analoga in der Kontaktgeometrie, wie etwa die Legendreschen Untermannigfaltigkeiten, die den Lagrangeschen Untermannigfaltigkeiten von symplektischen Mannigfaltigkeiten entsprechen. Das Analogon des Satzes von Darboux, der die lokale Äquivalenz aller gleichdimensionalen symplektischen Mannigfaltigkeiten beinhaltet (Darboux-Koordinaten) ist der Kontaktsatz von Darboux, der ebenfalls die lokale Äquivalenz aller Kontaktmannigfaltigkeiten gleicher Dimension garantiert.

Andererseits erlauben symplektische Mannigfaltigkeiten unter gewissen Voraussetzungen wiederum Kontaktifizierungen, die zum Beispiel als U(1)-Hauptfaserbündel über der gegebenen symplektischen Mannigfaltigkeit auftauchen, etwa das Unterbündel derjenigen Elemente des komplexen Geradenbündels der geometrischen Quantisierung, auf denen die Fasermetrik den Wert 1 hat. Ein weiteres Beispiel ist die Mannigfaltigkeit der 1-Jets über einer gegebenen Mannigfaltigkeit N, J1(N, ℝ), die TN kontaktifiziert.

Die Kontaktgeometrie bietet für mehrere Begriffsbildungen des 19. Jahrhunderts einen konzeptuellen Rahmen, so zum Beispiel für die Legendre-Involution (die wichtig für die Definition der Legendre-Transformierten ist) oder die Methode der Charakteristiken für die Lösung partieller Differentialgleichungen.

In neuerer Zeit werden Kontaktmannigfaltigkeiten, insbesondere Legendresche Faserbündel, zur Beschreibung von Strahlensystemen und ihrer Singularitäten nach V.I.Arnold verwendet. Ferner ist die Konstruktion vor allem kompakter Kontaktmannigfaltigkeiten technisch einfacher als die Konstruktion kompakter symplektischer Mannigfaltigkeiten, was sich um Beispiel darin niederschlägt, daß jede kompakte orientierbare dreidimensionale Mannigfaltigkeit eine Kontaktstruktur besitzt (J. Martinet 1971), oder in der Tatsache, daß die zusammenhängende Summe zweier gleichdimensionaler Kontaktmannigfaltigkeiten wieder mit einer Kontaktstruktur versehen ist (C. Meckert 1982, A. Weinstein 1991). Hier schließen sich auch Zusammenhänge mit der Frage nach geschlossenen charakteristischen Bahnen auf Hyperflächen vom Kontakttyp von symplektischen Mannigfaltigkeiten an.

[1] Arnold, V.I.: Mathematische Methoden der Klassischen Mechanik. Birkhäuser Basel, 1988.
[2] Libermann, P.; Marle, C.-M.: Symplectic Geometry and Analytic Mechanics. D.Reidel Dordrecht, 1987.
[3] Thomas, C.B., Hrsg.: Contact and Symplectic Geometry. Cambridge University Press, 1996.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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