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Lexikon der Mathematik: kontinuierliche Wavelet-Transformation

die durch Formel (1) gegebene Integraltransformation.

Eine Funktion ψL2(ℝ) mit ∥ψ∥ = 1, die die Zulässigkeitsbedingung \begin{eqnarray}2\pi \displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\mathbb{R}}}\frac{|\psi (\zeta ){|}^{2}}{|\zeta |}d\zeta =:{C}_{\psi }\lt \infty \end{eqnarray}

erfüllt, heißt Wavelet. Ist ein Wavelet ψ fest gewählt, so nennt man \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}Wf(a,b):=|a{|}^{-\frac{1}{2}}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\mathbb{R}}}f(x)\cdot \psi \left(\frac{x-b}{a}\right)dx \end{array}\end{eqnarray}

für a ∈ ℝ \{0}, b ∈ ℝ die Wavelet-Transformation von fL2(ℝ) zum Wavelet ψ. Für fL2(ℝ) ist die Wavelet-Transformierte fWf eine bijektive Abbildung. Ähnlich wie bei der Fouriertransformation gibt es auch hier eine inverse Transformation.

Bei der Fouriertransformation wird eine Funktion in Frequenzanteile zerlegt, jedoch ist keine Ortsinformation verfügbar, da die verwendeten Basisfunktionen {eikx, k ∈ ℤ} keinen Ort, sondern nur die Frequenz auszeichnen. Mit Hilfe der Wavelettransformation wird eine Funktion ebenfalls in verschiedene Frequenzbänder zerlegt. Die Familie \begin{eqnarray}\{{\psi }_{a,b}(t)|a\in {\mathbb{R}}\backslash \{0\},b\in {\mathbb{R}}|\}\end{eqnarray}

von Funktionen, bezüglich derer zerlegt wird, ist durch eine einzige Funktion ψ, das Wavelet („Wellchen“), festgelegt. Im Gegensatz zur Fouriertransformation ist hier neben der Frequenz noch ein zweiter Parameter, der die Ortsinformation darstellt, vorhanden. Daher enthält die Wavelettransformation einer Funktion sowohl Orts- als auch Zeitinformation.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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