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Lexikon der Mathematik: Kontinuitätsprinzip

Permanenzprinzip, klassisches Postulat der algebraischen Geometrie. Es besagt, daß die geometrische Natur eines Nullstellengebildes V ({fi}) bei Variation der Koeffizienten seiner definierenden Polynome fi „fast immer“ dieselbe ist. An dem folgenden Beispiel soll dies erläutert werden:

Für ε ∈ ℝ\{0} betrachtet man die algebraische Menge (Nullstellengebilde) \({X}^{(\varepsilon )}:=V({z}_{1}^{2}+{z}_{2}^{2}-\varepsilon )\) in ℂ2 und das entsprechende reelle Nullstellengebilde \({X}_{{\mathbb{R}}}^{(\varepsilon )}:={X}^{(\varepsilon )}\cap {{\mathbb{R}}}^{2}.{X}_{{\mathbb{R}}}^{(\varepsilon )}\) versteht man einfach, denn es gilt \begin{eqnarray}{X}_{{\mathbb{R}}}^{(\varepsilon )}=\left\{\begin{array}{ll}\text{Kreis mit Radius}\sqrt{\varepsilon } & \text{falls}\space \varepsilon \gt 0\\ \varnothing, & \text{falls}\space\varepsilon \lt 0.\end{array}\right.\end{eqnarray}

Um sich auch ein geometrisches Bild von X(ε) zu machen, identifiziert man ℂ2 mit ℝ4 (d. h., (z1, z2) ∈ ℂ2 wird identifiziert mit (x1, x2, y1, y2) ∈ ℝ4) und faßt X(ε) als Menge im ℝ4 auf. Außerdem konstruiert man einen Homöomorphismus \begin{eqnarray}{\varphi }^{(\varepsilon )}:{X}^{(\varepsilon )}\underrightarrow{\approx }{H}^{(\varepsilon )}\subseteq {{\mathbb{R}}}^{3}\end{eqnarray}

von X(ε) auf eine einfache Fläche im ℝ3. \begin{eqnarray}{H}^{(\varepsilon )}=\{(u,v,w)\in {{\mathbb{R}}}^{3}|{u}^{2}+{v}^{2}-{w}^{2}-|\varepsilon |=0\}\end{eqnarray}

entsteht, indem man die in der (u, w)-Ebene liegende Hyperbel u2w2 − |ε| = 0 um die w-Achse rotieren läßt, ist also ein einschaliges Rotationshyperboloid, dessen Achse die w-Achse ist. H(ε) ist also ein topologisch treues Bild von X(ε). Da für ε > 0 offenbar H(ε) = H(−ε) ist, sind also X(ε) und X(−ε) homöomorph, obwohl es \({X}_{{\mathbb{R}}}^{(\varepsilon )}\) und \({X}_{{\mathbb{R}}}^{(-\varepsilon )}\) nicht sind.

Für beliebige ϵ ∈ ℂ \{0}, und δ ∈ ℂ so, daß δ2 = ε, ist die Abbildung σ : ℂ2 → ℂ2, (z1, z2) ↦ (δz1, δz2) ein Homöomorphismus. Daher ist X(ε) für alle ε ∈ ℂ \{0} zu X(1) homöomorph, hat also „für fast alle ϵ “ die topologische Gestalt von H(1), und damit ist das Kontinuitätsprinzip erfüllt.

Daß sich die geometrische Natur eines Nullstellengebildes bei Variation der Koeffizienten ändern kann, sieht man nun leicht, wenn man X(ε) für ε = 0 betrachtet. Wegen \(z\frac{2}{1}+z\frac{2}{2}=({z}_{1}+i{z}_{2})({z}_{1}-i{z}_{2})\) gilt nämlich \begin{eqnarray}{X}^{(0)}=V(z\begin{array}{c} 2\\1 \end{array}+z\begin{array}{c} 2\\2 \end{array})=V({z}_{1}+i{z}_{2})\cup V({z}_{1}-i{z}_{2}).\end{eqnarray}

In ℝ4 betrachtet sind V(z1 + iz2) und V(z1iz2) Ebenen, die sich genau im Ursprung treffen. X(0) entspricht also topologisch der Vereinigung zweier sich transversal schneidender Ebenen, ist also sicher nicht zu H(1) homöomorph.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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