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Lexikon der Mathematik: Kontrollpunkt

Element einer endlichen Menge von Punkten im ℝd, die, je nach Anwendung, eine Kurve oder eine Fläche im Raum definieren. Ein Kontrollpunkt einer Freiformkurve oder Freiformfläche ist also ein Punkt des Kontrollpolygons, welches von der Kurve bzw. Fläche approximiert wird. Ein prominentes Beispiel dafür sind die Kontrollpunkte von Bézier- und B-Splinekurven bzw. -flächen.

Exemplarisch kann die Wirkungsweise von Kontrollpunkten wie folgt beschrieben werden: Mit einer geeigneten endlichen Indexmenge I wähle man ein Menge {bi}iI von Punkten im ℝd. Ist {Bi}iI Basis eines geeigneten Polynom- oder Splineraumes, so stellt die Abbildung

\begin{eqnarray}P(x)=\displaystyle \sum _{i\in I}{b}_{i}{B}_{i}(x)\end{eqnarray}

die durch die Kontrollpunkte {bi}iI definierte Kurve (falls x aus einem eindimensionalen Parametergebiet stammt) bzw. Fläche (falls x aus einem zweidimensionalen Parametergebiet stammt) dar.

Üblicherweise fordert man noch, daß sich die Basisfunktionen {Bi} zu Eins summieren und nichtnegativ sind. Ist dies gegeben, so liegt jeder Punkt P(x) in der konvexen Hülle der Kontrollpunkte (convex hull property).

Viele Kurven- und Flächenschemata in der Geometrische Datenverarbeitung haben die Struktur von affinen Räumen, deren Elemente die jeweiligen Kurven und Flächen sind. Dann haben die Kontrollpunkte die Bedeutung von Koeffizienten bezüglich eines affinen Koordinatensystems. Weiterhin hängt der Kurven- oder Flächenpunkt zu einem festen Parameterwert affin von den Kontrollpunkten ab.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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