Reihe mit konvergenter Partialsummenfolge.

Jeder Folge (a_n) (reeller oder komplexer Zahlen) kann ihre Summenfolge (s_n), definiert durch die Partialsummen \({s}_{n}:=\displaystyle {\sum }_{v=1}^{n}{a}_{v}\quad(n\in {\mathbb{N}})\), zugeordnet werden. Die Folge dieser Partialsummen bezeichnet man als Reihe (der a_ν), die einzelnen a_ν auch als Summanden. Hier wird davon ausgegangen, daß die betrachteten Folgen bei 1 beginnen. Natürlich können beliebige andere „Startindizes“ auftreten.

Ist (s_n) konvergent (mit Grenzwert σ), dann notiert man dies als \begin{eqnarray}\begin{array}{cccc}\displaystyle \sum _{v=1}^{\infty }{a}_{v} & konvergent & \text{bzw}\text{.} & \displaystyle \sum _{v=1}^{\infty }{a}_{v}=\sigma \end{array}\end{eqnarray}

und benutzt dafür auch Sprechweisen wie:

Die „Reihe“ \(\displaystyle \sum _{v=1}^{\infty }{a}_{v}\)ist konvergent (mit Wert σ).

Falls (s_n) divergent ist, sagt man:

Die „Reihe“ \(\displaystyle \sum _{v=1}^{\infty }{a}_{v}\)ist divergent.

Ist (s_n) bestimmt divergent, dann notiert man \begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}\displaystyle \sum _{v=1}^{\infty }{a}_{v}=\infty & \text{bzw}\text{.} & \displaystyle \sum _{v=1}^{\infty }{a}_{v}=-\infty.\end{array}\end{eqnarray}

Auf die Benennung des Summationsindexes kommt es natürlich auch hier – bei der Notierung von Reihen – wieder nicht an, es ist zum Beispiel: \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{v=1}^{\infty }{a}_{v}=\displaystyle \sum _{\lambda =1}^{\infty }{a}_{\lambda }=\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }{a}_{j}=\displaystyle \sum _{\heartsuit =1}^{\infty }{a}_{\heartsuit}=\cdots.\end{eqnarray}

Eine Reihe ist also nichts anderes als die Folge der Partialsummen, und das entspreche Summensymbol \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{v=1}^{\infty }{a}_{v}\end{eqnarray}

nur eine abkürzende Bezeichnung für Folge der Partialsummen (s_n) bzw. – gegebenenfalls – für den Grenzwert der Folge der Partialsummen. Der direkte Konvergenznachweis (über die Definition) ist oft relativ mühsam; hilfreich sind deshalb die zahlreichen Konvergenzkriterien für Reihen.