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Lexikon der Mathematik: konvergente Reihe

Reihe mit konvergenter Partialsummenfolge.

Jeder Folge (an) (reeller oder komplexer Zahlen) kann ihre Summenfolge (sn), definiert durch die Partialsummen \({s}_{n}:=\displaystyle {\sum }_{v=1}^{n}{a}_{v}\quad(n\in {\mathbb{N}})\), zugeordnet werden. Die Folge dieser Partialsummen bezeichnet man als Reihe (der aν), die einzelnen aν auch als Summanden. Hier wird davon ausgegangen, daß die betrachteten Folgen bei 1 beginnen. Natürlich können beliebige andere „Startindizes“ auftreten.

Ist (sn) konvergent (mit Grenzwert σ), dann notiert man dies als \begin{eqnarray}\begin{array}{cccc}\displaystyle \sum _{v=1}^{\infty }{a}_{v} & konvergent & \text{bzw}\text{.} & \displaystyle \sum _{v=1}^{\infty }{a}_{v}=\sigma \end{array}\end{eqnarray}

und benutzt dafür auch Sprechweisen wie:

DieReihe“ \(\displaystyle \sum _{v=1}^{\infty }{a}_{v}\)ist konvergent (mit Wert σ).

Falls (sn) divergent ist, sagt man:

Die „Reihe“ \(\displaystyle \sum _{v=1}^{\infty }{a}_{v}\)ist divergent.

Ist (sn) bestimmt divergent, dann notiert man \begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}\displaystyle \sum _{v=1}^{\infty }{a}_{v}=\infty & \text{bzw}\text{.} & \displaystyle \sum _{v=1}^{\infty }{a}_{v}=-\infty.\end{array}\end{eqnarray}

Auf die Benennung des Summationsindexes kommt es natürlich auch hier – bei der Notierung von Reihen – wieder nicht an, es ist zum Beispiel: \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{v=1}^{\infty }{a}_{v}=\displaystyle \sum _{\lambda =1}^{\infty }{a}_{\lambda }=\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }{a}_{j}=\displaystyle \sum _{\heartsuit =1}^{\infty }{a}_{\heartsuit}=\cdots.\end{eqnarray}

Eine Reihe ist also nichts anderes als die Folge der Partialsummen, und das entspreche Summensymbol \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{v=1}^{\infty }{a}_{v}\end{eqnarray}

nur eine abkürzende Bezeichnung für Folge der Partialsummen (sn) bzw. – gegebenenfalls – für den Grenzwert der Folge der Partialsummen. Der direkte Konvergenznachweis (über die Definition) ist oft relativ mühsam; hilfreich sind deshalb die zahlreichen Konvergenzkriterien für Reihen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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