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Lexikon der Mathematik: Konvergenz einer Iteration

Beschreibung des Verhaltens einer Iteration xk+1 := Txk mit Operator T für k →∞ (in einem geeigneten Banachraum). Die Iteration heißt konvergent, wenn die Iterierten {xk} für jeden Startwert (zumindest lokal) gegen den gleichen Wert konvergieren. Notwendig und hinreichend hierfür ist, daß für den Spektralradius ϱ(T)< 1 gilt, d. h. alle Eigenwerte von T sind betragsmäßig kleiner als 1.

Für das Konvergenzverhalten entscheidend ist, wie nahe bei 1 sich der Spektralradius bewegt. Für ϱ(T) = 1 − ε, 0 < ε < 1, benötigt man in etwa 1/ϵ Iterationen, um den Fehler um den Faktor 1/e (e die Eulersche Zahl e) zu verringern, also z. B. bei ϵ = 0.001 ungefähr 1000 Schritte.

Klassisches Anschauungsbeispiel für das Konvergenzverhalten ist das Newtonverfahren.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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