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Lexikon der Mathematik: Konvergenz eines Diskretisierungsverfahrens

Eigenschaft eines Diskretisierungsverfahrens zur näherungsweisen Lösung einer Differentialgleichung bzgl. des Verhaltens des globalen Diskretisierungsfehlers.

Dieser ist im einfachsten Fall eines Einschrittverfahrens für das Anfangswertproblem y= f(x,y), y(x0) = η, definiert als \(e(x,h):=\tilde{y}(x,h)-y(x)\), wobei die Näherungen sich berechnen zu \begin{eqnarray}\begin{array}{rll}{x}_{i} & := & {x}_{0}+ih,i=1,2,\ldots \\ \tilde{y}({x}_{i},h) & := & \tilde{y}({x}_{i-1},h)+h\Phi ({x}_{i-1},\tilde{y}({x}_{i-1},h),h)\end{array}\end{eqnarray}

mit Schrittweite h, Verfahrensfunktion Φ und Startwert \(\tilde{y}({x}_{0})=\eta \). Für festes x betrachtet man die Folge der Einschrittverfahren, die durch h-Werte der Form hn := (xx0)/n, n = 1, 2,…, erzeugt werden. Das Einschrittverfahren heißt konvergent, falls \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }e(x,{h}_{n})=0.\end{eqnarray}

Es zeigt sich, daß Verfahren der Konsistenzordnung p > 0 (Konsistenz eines Diskretisierungsverfahrens) immer konvergent sind, und daß sogar \(e(x,{h}_{n})=O({h}_{n}^{p})\) ist.

Bei Mehrschrittverfahren setzt sich diese Definition in analoger Weise fort. Allerdings ergibt sich hier nicht ein unmittelbarer Zusammenhang zwischen der Konsistenz und der Konvergenz, da hier noch die Stabilität eine entscheidende Rolle spielt (Äquivalenzsatz).

Ähnliches läßt sich auch für explizite Differenzenverfahren bei partiellen Differentialgleichungen formulieren. Für ein Problem in einer Zeitvariablen t und einer Ortvariablen x lassen sich diese Verfahren beispielsweise allgemein darstellen in der Form \begin{eqnarray}{\tilde{u}}^{(k+1)}(x):=\Phi ({\tilde{u}}^{(k)}(x),\Delta t)+\Delta tg(x).\end{eqnarray}

Dabei approximiert \(\tilde{a}^{(k)}(x)\) die unbekannte Funktion u(t, x) für t = t0 + kΔtT, k = 1,2,…. Die Diskretisierung in x-Richtung mit Schrittweite Δx ist der Übersicht halber hier nicht explizit angegeben, lediglich das Verhältnis λ = Δtx soll konstant sein (vgl. z. B. Friedrichs-Schema). Ein solches Verfahren heißt dann konvergent, falls \begin{eqnarray}\|{u}^{(k)}(x)-u(t,x)\|\to 0\end{eqnarray}

für Δt → 0 und kΔtt.

[1] Stoer, J.; Bulirsch, R.: Einführung in die Numerische Mathematik II. Springer-Verlag, Berlin, 1978.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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