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Lexikon der Mathematik: Konvergenz, schwache, von meßbaren Funktionen

spezieller Konvergenzbegriff in der Maßtheorie.

Es sei (Ω, 𝒜, μ) ein Maßraum, p eine reelle Zahl mit 1 ≤ p < ∞ und q := (1 − 1/p)−1.

Dann heißt die Folge (fn|n ∈ ℕ) von p-fach μ-integrierbaren Funktionen auf Ω schwach konvergent gegen eine p-fach μ-integrierbare Funktion f auf Ω, falls für alle q-fach μ-integrierbaren Funktionen g auf Ω gilt: \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }\displaystyle \int g{f}_{n}d\mu =\displaystyle \int gfd\mu.\end{eqnarray}

Dabei ist für q = ∞ g eine μ-fast überall beschränkte Funktion auf Ω. Es gilt für p > 1, daß aus der Konvergenz im p-ten Mittel die schwache Konvergenz und die Konvergenz der p-fachen Integrale folgt und umgekehrt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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