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Lexikon der Mathematik: Konvergenz, vage, von Maßen

spezieller Konvergenzbegriff in der Maßtheorie.

Es sei Ω ein lokalkompakter Raum, ℬ(Ω) die Borel-σ-Algebra auf Ω, und es seien μ, μ1μ2,… Radon-Maße auf ℬ(Ω).

Dann heißt die Folge vage konvergent gegen das Maß μ, falls \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }\displaystyle \int fd{\mu }_{n}=\displaystyle \int fd\mu \end{eqnarray}

für alle stetigen Funktionen f auf Ω mit kompaktem Träger.

Ist eine Folge (μn|n ∈ ℕ) von endlichen Radon-Maßen vage konvergent gegen das endliche Radon-Maß μ, so sind folgende drei Bedingungen äquivalent:

(a) Die Folge (μn|n ∈ ℕ) konvergiert schwach gegen μ.

(b) limn→∞μn(Ω) = μ(Ω).

(c) Zu jedem ε > 0 existiert eine kompakte Menge K ⊆ Ω mit μn(Ω\K) < ε für alle n ∈ ℕ („Straffheit“).

Dieser Konvergenzbegriff ist auf Polnische Räume übertragbar.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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