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Lexikon der Mathematik: Konvergenzarten für Folgen zufälliger Größen

zentrale Begriffe innerhalb der Maßtheorie, Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, die hier im Zusammenhang dargestellt werden; man vergleiche auch die jeweils angezeigten Einzelstichwörter.

(1) Eine Folge X1, X2, … von Zufallsgrößen über dem gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsraum [Ω, 𝒜, P] heißt fast sicher konvergent oder konvergent mit Wahrscheinlichkeit 1 gegen die Zufallsgröße X, wenn gilt: \begin{eqnarray}\begin{array}{l}\begin{array}{l}P\left(\left\{\omega \in \Omega |\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }{X}_{n}(\omega )=X(\omega )\right\}\right)\\ \quad\quad\text{}=P(\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }{X}_{n}=X)=1.\end{array}\end{array}\end{eqnarray}

Entsprechend definiert man die Konvergenz mit Wahrscheinlichkeit 1 für Folgen zufälliger Variablen mit einem meßbaren topologischen Raum als gemeinsamem Bildraum (fast sichere Konvergenz).

(2) Eine Folge X1, X2, … von Zufallsgrößen über dem gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsraum [Ω, 𝒜, P] heißt im quadratischen Mittel konver-gent gegen die Zufallsgröße X, wenn gilt: \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }E|{X}_{n}-X{|}^{2}=0;\end{eqnarray}

sie heißt im p-ten Mittel (1 ≤ p) konvergent gegen X, wenn gilt: \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{x\to \infty }E|{X}_{n}-X{|}^{p}=0.\end{eqnarray}

Entsprechend definiert man die Konvergenz im p-ten Mittel für Folgen zufälliger Variabler mit einem meßbaren Banachraum als gemeinsamem Bildraum (Konvergenz im p-ten Mittel).

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Konvergenzarten für Folgen zufälliger Größen
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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(3) Eine Folge X1, X2, … von Zufallsgrößen über dem gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsraum [Ω, 𝒜, P] heißt konvergent in Wahrscheinlichkeit oder stochastisch konvergent gegen die Zufallsgröße X, wenn gilt: \begin{eqnarray}\begin{array}{r}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }P(\{\omega \in \Omega ||{X}_{n}(\omega )-X(\omega )|\gt \varepsilon \})\\ =\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }P(|{X}_{n}-X|\gt \varepsilon )=0\\ \text{f}{\ddot {\text u}}\text {r jede positive Zahl}\space \varepsilon \end{array}\end{eqnarray}

Entsprechend definiert man die Konvergenz in Wahrscheinlichkeit für Folgen zufälliger Variabler mit einem meßbaren metrischen Raum als gemeinsamem Bildraum (stochastische Konvergenz).

(4) Eine Folge X1, X2, … von Zufallsgrößen über dem gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsraum [Ω, 𝒜, P] heißt konvergent in Verteilung gegen die Zufallsgröße X, wenn die Folge P1, P2, … der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen schwach gegen die Wahrscheinlichkeitsverteilung P von X konvergiert. Dabei heißt eine Folge P1, P2, … von Wahrscheinlichkeitsverteilungen schwach konvergent gegen eine Wahrscheinlichkeitsverteilung P, falls die Folge (Fn) der durch Fn(x) = Pn(X < x) definierten Verteilungsfunktionen an allen Stetigkeitsstellen der Verteilungsfunktion F, F(x) := P(X < x), gegen F konvergiert (Konvergenz in Verteilung).

Sowohl aus (1) als auch aus (2) folgt (3), aus (3) folgt (4).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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