Techniken zur Beschleunigung der Konvergenz einer Zahlenreihe.

Die meisten beruhen auf einem 1705 von Nicolas Fatio de Duillier (Fatio-Verfahren) gefundenen und 1755 von Leonhard Euler (Eulersche Reihentransformation) verallgemeinerten Trick.

Fatio betrachtete die schlecht konvergierende Leibniz-Reihe \begin{eqnarray}\frac{\pi }{4}=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n}}{2n+1},\end{eqnarray}

stellte diese zum einen als \begin{eqnarray}\frac{\pi }{4}=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(\frac{1}{4n+1}-\frac{1}{4n+3})\end{eqnarray}

und zum anderen als \begin{eqnarray}\frac{\pi }{4}=1-\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(\frac{1}{4n+3}-\frac{1}{4n+5})\end{eqnarray}

dar, und erhielt durch Bilden des arithmetischen Mittels der beiden Darstellungen die schneller konvergierende Reihe \begin{eqnarray}\frac{\pi }{4}=\frac{1}{2}+\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n}}{(2n+1)(2n+3)}.\end{eqnarray}

Wiederholen dieses Vorgangs liefert die noch besser konvergierende Reihe \begin{eqnarray}\frac{\pi }{4}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{3}\right)+2!\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n}}{(2n+1)(2n+3)(2n+5)},\end{eqnarray}

und durch k-fache Anwendung des Verfahrens erhält man \begin{eqnarray}\frac{\pi }{4}=\frac{1}{2}\left(\displaystyle \sum _{n=0}^{k}\displaystyle \prod _{m=1}^{n}\frac{m}{2m+1}\right)+{R}_{k},\end{eqnarray}

wobei \begin{eqnarray}{R}_{k}=k!\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\displaystyle \prod _{m=1}^{n}\frac{1}{2m+1}\end{eqnarray}

ist. Wegen \(0\lt {R}_{k}\lt \frac{1}{{2}^{k}}\) liefert k → ∞ die schnell konvergierende Darstellung \begin{eqnarray}\frac{\pi }{2}=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\displaystyle \prod _{m=1}^{n}\frac{m}{2m+1}=\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{{2}^{n}}{n\left(\begin{array}{c}2n\\n\end{array}\right)}.\end{eqnarray}

Nach Euler gilt allgemeiner: Ist a = (a_n) eine Zahlenfolge und \(\displaystyle {\sum }_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{a}_{n}\) konvergent, dann konvergiert auch die Reihe \begin{eqnarray}\frac{1}{2}\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\frac{{({\Delta }^{n}(a))}_{1}}{{2}^{n}}\end{eqnarray}

und hat den gleichen Grenzwert, wobei Γ der Differenzenoperator für Folgen und (Γⁿ(a))₁ das erste Glied der n-ten Differenzenfolge von a ist.

Die Konvergenz ist dabei allerdings nicht notwendigerweise besser als bei der Ausgangsreihe.