Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Konvergenzexponent

Maßzahl einer ganzen Funktion f, die wie folgt definiert ist.

Es seien z1, z2, z3, … die Nullstellen von f, der Größe nach geordnet, d. h. \begin{eqnarray}|{z}_{1}|\le |{z}_{2}|\le |{z}_{3}|\le \cdots,\end{eqnarray}

wobei jede Nullstelle so oft aufgeführt wird wie ihre Nullstellenordnung angibt. Falls ein α ∈ (0, ∞) existiert derart, daß die Reihe \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n}\frac{1}{|{z}_{n}{|}^{\alpha }}\end{eqnarray}

konvergiert, so sei ϱ1 ∈ [0, ∞) das Infimum aller dieser Zahlen α. Andernfalls setzt man ϱ1 := ∞. Die Zahl ϱ1 heißt der Konvergenzexponent von f.

Der Fall ϱ1 = ∞ kann tatsächlich vorkommen, zum Beispiel wenn zn = log n, denn nach dem Weierstraßschen Produktsatz existiert eine ganze Funktion mit genau diesen Nullstellen. Besitzt f nur endlich viele Nullstellen, so ist offenbar ϱ1 = 0. Dieser Fall kann auch bei unendlich vielen Nullstellen auftreten, zum Beispiel wenn zn = n! oder zn = nn. Einige weitere Beispiele:

(a) zn = nϱ1 =1.

(b) zn = nk, \(k\in {\mathbb{N}}\Rightarrow {\varrho }_{1}=\frac{1}{k}\).

(c) \({z}_{n}=\sqrt{n}\Rightarrow {\varrho }_{1}=2.\)

Der Konvergenzexponent von f ist in gewissem Sinne ein Maß für die „Anzahl“ der Nullstellen von f. Grob gesagt: Je mehr Nullstellen f hat, desto größer ist ϱ1.

Ist f eine ganze Funktion der Ordnung ϱ, so gilt ϱ1ϱ.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos