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Lexikon der Mathematik: Konvergenzgebiet einer formalen Potenzreihe

wichtiger Begriff in der Funktionentheorie, insbesondere auf Bereichen im ℂn.

Sei \(P(\zeta )=\displaystyle {\sum }_{v=0}^{\infty }{a}_{v}{\zeta }^{v}\) eine formale Potenzreihe um Null im ℂn. Die Menge M ⊂ ℂn, auf der P (ζ) konvergiert, nennt man Konvergenzmenge von P(ζ). P (ζ) konvergiert dann stets in \(\mathop{M}\limits^{o}\) und divergiert außerhalb von \(\bar{M}.B(P(\zeta )):=\mathop{M}\limits^{o}\) nennt man den Konvergenzbereich der Potenzreihe P (ζ). Es gilt der folgende Satz:

Sei \(P(\zeta )=\displaystyle {\sum }_{v=0}^{\infty }{a}_{v}{\zeta }^{v}\)eine formale Potenzreihe um Null imn, dann ist ihr Konvergenzbereich B = B(P(ζ)) ein vollkommener Reinhardtscher Körper. Im Inneren von B konvergiert P (ζ) gleichmäßig.

Man beachte: Nicht jeder vollkommene Reinhardtsche Körper kommt als Konvergenzbereich einer formalen Potenzreihe vor! Es sind noch zusätzliche Eigenschaften nötig.

Da jeder vollkommene Reinhardtsche Körper zusammenhängend ist, kann man von Konvergenzgebieten von formalen Potenzreihen sprechen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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