zu einer Potenzreihe \(\displaystyle {\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{(z-{z}_{0})}^{n}\) mit Entwicklungspunkt z₀ ∈ C, Koeffizienten a_n ∈ ℂ und Konvergenzradius R > 0 die offene Kreisscheibe \begin{eqnarray}{B}_{R}({z}_{0})=\{z\in {\mathbb{C}}:|z-{z}_{0}|\lt R\}.\end{eqnarray}

Für R = ∞ ist B_R(z₀) = ℂ.

In B_R(z₀) ist die Reihe normal konvergent und stellt dort eine holomorphe Funktion dar. Ist R < ∞, so ist die Reihe für jedes z ∈ ℂ \ \(\overline{{B}_{R}({z}_{0})}\) divergent. Auf dem Rand ∂B_R(z₀) kann die Reihe konvergieren oder divergieren. Hierzu einige Beispiele im Fall z₀ = 0 und R = 1.

(a) Die Reihe \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{z}^{n}\end{eqnarray}

ist für jedes z ∈ ∂B₁(0) divergent.

(b) Die Reihe \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{{z}^{n}}{{n}^{2}}\end{eqnarray}

ist für jedes z ∈ ∂B₁(0) konvergent. Sie ist sogar in \(\overline{{B}_{1}(0)}\) normal konvergent.

(c) Die Reihe \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{{z}^{n}}{n}\end{eqnarray}

ist für z = 1 divergent und für jedes z ∈ ∂B₁(0)\{1} konvergent.