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Lexikon der Mathematik: Konvergenzkreis

zu einer Potenzreihe \(\displaystyle {\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{(z-{z}_{0})}^{n}\) mit Entwicklungspunkt z0 ∈ C, Koeffizienten an ∈ ℂ und Konvergenzradius R > 0 die offene Kreisscheibe \begin{eqnarray}{B}_{R}({z}_{0})=\{z\in {\mathbb{C}}:|z-{z}_{0}|\lt R\}.\end{eqnarray}

Für R = ∞ ist BR(z0) = ℂ.

In BR(z0) ist die Reihe normal konvergent und stellt dort eine holomorphe Funktion dar. Ist R < ∞, so ist die Reihe für jedes z ∈ ℂ \ \(\overline{{B}_{R}({z}_{0})}\) divergent. Auf dem Rand ∂BR(z0) kann die Reihe konvergieren oder divergieren. Hierzu einige Beispiele im Fall z0 = 0 und R = 1.

(a) Die Reihe \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{z}^{n}\end{eqnarray}

ist für jedes z∂B1(0) divergent.

(b) Die Reihe \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{{z}^{n}}{{n}^{2}}\end{eqnarray}

ist für jedes z ∈ ∂B1(0) konvergent. Sie ist sogar in \(\overline{{B}_{1}(0)}\) normal konvergent.

(c) Die Reihe \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{{z}^{n}}{n}\end{eqnarray}

ist für z = 1 divergent und für jedes z∂B1(0)\{1} konvergent.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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