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Lexikon der Mathematik: Konvergenzkriterien für Reihen

nutzen Besonderheiten einer Reihe, um die Konvergenzfrage leichter zu entscheiden.

Der direkte Konvergenznachweis (über die Definition) für Reihen ist i. a. relativ aufwendig; daher wurde eine große Zahl von meist hinreichenden Kriterien entwickelt.

Als eigentlich triviale Hilfsmittel sind zunächst die Regeln für das Rechnen mit Reihen (u. a. die Linearität) zu beachten, sowie die Tatsache, daß Abändern von endlich vielen Gliedern einer Reihe das Konvergenzverhalten nicht ändert (wohl aber in der Regel den Reihenwert).

In einer konvergenten Reihe können beliebig oft endlich viele Glieder durch Klammern zusammengefaßt werden, ohne das Konvergenzverhalten und den Reihenwert zu ändern. (Daß Klammern nicht weggelassen werden dürfen, zeigt das Beispiel an := (−1)n (n ∈ ℕ), wenn man zunächst je zwei Glieder klammert.)

Es seien 𝕂 ∈ {ℝ, ℂ}, N ∈ ℕ, α ∈ 𝕂, (an), (bn) 𝕂-wertige Folgen und \(\displaystyle {\sum }_{v=1}^{\infty }{a}_{v},\displaystyle {\sum }_{v=1}^{\infty }{b}_{v}\) konvergent. Dann gilt folgende Aussage:

Die Reihe \(\displaystyle {\sum }_{v=1}^{\infty }(\alpha {a}_{v}+{b}_{v})\)ist konvergent, und es ist \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{v=1}^{\infty }{(\alpha \ a}_{v}+b_v)=\alpha\displaystyle \sum _{v=1}^{\infty }{a}_{v}+\displaystyle \sum _{v=1}^{\infty }{b}_{v}.\end{eqnarray}

Für komplexe Folgen (an) gelingt die Zurückführung auf Konvergenz in ℝ durch:

\(\displaystyle {\sum }_{v=1}^{\infty }{a}_{v}\)ist genau dann konvergent, wenn \(\displaystyle {\sum }_{v=1}^{\infty }{a}_{v}\) Re(aν) und \(\displaystyle {\sum }_{v=1}^{\infty }{a}_{v}\) Im(aν) konvergent sind. Im Falle der Konvergenz hat man \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{v=1}^{\infty }{a}_{v}=\displaystyle \sum _{v=1}^{\infty }\mathrm{Re}({a}_{v})+i\displaystyle \sum _{v=1}^{\infty }\mathrm{Im}({a}_{v}).\end{eqnarray}

Grundlegend ist auch das Cauchy-Kriterium, das lediglich die Vollständigkeit von ℝ bzw. ℂ übersetzt:

\(\displaystyle {\sum }_{v=1}^{\infty }{a}_{v}\)ist genau dann konvergent, wenn gilt: Für alle ϵ > 0 existiert ein N ∈ ℕ derart, daß \begin{eqnarray}\left|\displaystyle \sum _{j=n}^{n+k}{a}_{j}\right|\lt \varepsilon.\end{eqnarray}

Lax bedeutet dies: Die (endlichen) Teilsummen werden beliebig klein, wenn nur die „Startindizes“ hinreichend groß sind. Unmittelbare Folgerung davon ist, als notwendiges Kriterium:

\(\displaystyle {\sum }_{v=1}^{\infty }{a}_{v}\)ist konvergentan → 0 (n → ∞).

Umgekehrt folgt aus an → 0 aber nicht die Konvergenz von \(\displaystyle {\sum }_{v=1}^{\infty }{a}_{v}\). Standardbeispiel dazu ist die divergente harmonische Reihe \(\displaystyle {\sum }_{v=1}^{\infty }\frac{1}{v}\).

Absolut konvergente Reihen sind stets konvergent, sogar unbedingt konvergent. Deshalb ist der Nachweis von absoluter Konvergenz hilfreich. Einige der wichtigsten Kriterien für absolute Konvergenz sind Majorantenkriterium und Minorantenkriterium (durch Vergleich mit schon bekannten Reihen), Wurzelkriterium, Quotientenkriterium (beruhen beide auf einem Vergleich mit der geometrischen Reihe) und seine Verfeinerung zum Raabe-Kriterium. Weiter das aus dem Monotoniekriterium für Folgen unmittelbar abzulesende Kriterium: Eine Reihe ist genau dann absolut konvergent, wenn die Partialsummen der zugehörigen Beträge beschränkt sind.

Daneben hat man das Integralkriterium und die Kriterien von Abel und Dirichlet.

Für alternierende Reihen ist das Leibniz-Kriterium oft hilfreich. Für Doppelreihen ist der große Umordnungssatz wichtig, für Produkte von Reihen der Reihenproduktsatz von Cauchy.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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