Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: konvexe Hülle

spezielle Obermenge einer Teilmenge X eines reellen Vektorraums V, nämlich der Durchschnitt aller konvexen Teilmengen von V, die X enthalten, meist bezeichnet mit conv X.

Da der Durchschnitt konvexer Mengen konvex ist, ist conv X die kleinste konvexe Menge in V, die X enthält. Die Menge X ist demnach genau dann konvex, wenn X = conv X gilt. Für alle α ∈ ℝ und X, YV gilt: \begin{eqnarray}\begin{array}{rll}\text{conv}\,\alpha X & = & \alpha \,\text{conv}X,\\ \text{conv}(X+Y) & = & \text{conv}X+\text{conv}Y.\end{array}\end{eqnarray}

Sind X, YV konvexe Kegel, d. h. X und Y sind konvex und erfüllen tXX und tYY für alle t ≥ 0, so gilt \begin{eqnarray}\text{conv}(X\cup Y)=X+Y.\end{eqnarray}

Die konvexe Hülle einer Menge XV besteht gerade aus allen Konvexkombinationen von Elementen von X, sie entspricht also der Menge \begin{eqnarray}\{{\lambda }_{1}{x}_{1}+\cdots +{\lambda }_{n}{x}_{n}|{x}_{i}\in X,{\lambda }_{i}\ge 0,{\lambda }_{1}+\cdots +{\lambda }_{n}=1\}.\end{eqnarray}

Für eine Menge X ⊂ ℝn besagt ein Satz von Carathéodory, daß jeder Punkt von conv X sich als Konvexkombination von höchstens n + 1 Elementen von X schreiben läßt. Hat X höchstens n Zusammenhangskomponenten, so kann man nach dem Satz von Fenchel-Bunt jeden Punkt von conv X als Konvexkombination von höchstens n Elementen von X schreiben. Beispielsweise erhält man die konvexe Hülle einer zusammenhängenden Menge X ⊂ ℝ2 als Vereinigung aller Verbindungsstrecken von Punkten aus X.

Aus dem Satz von Carathéodory folgt, daß die konvexe Hülle einer kompakten Teilmenge von ℝn kompakt ist. Jedoch ist die konvexe Hülle einer abgeschlossenen Teilmenge von ℝn nicht notwendigerweise abgeschlossen – man betrachte etwa in ℝ2 die Vereinigung einer Geraden mit einem nicht auf ihr liegenden Punkt.

Ist V ein topologischer Vektorraum, so ist für jede offene Menge XV auch conv X offen. Ferner sind für jede konvexe Menge XV auch das Innere von X und die Abschließung von X konvex. Für jede Menge XV ist dann auch der Durchschnitt aller abgeschlossenen konvexen Teilmengen von V, die X enthalten, eine abgeschlossene konvexe Menge, genannt \(\overline{\text{conv}}X\), die abgeschlossene konvexe Hülle von X. Es gilt \begin{eqnarray}\overline{\text{conv}}\overline{X}=\overline{\text{conv}}X=\overline{\text{conv}X}.\end{eqnarray}

Für alle α ∈ ℝ und X, YV mit relativ kompaktem conv Y gilt: \begin{eqnarray}\begin{array}{rll}\overline{\text{conv}}\,\alpha X & = & \alpha \,\overline{\text{conv}}X,\\ \overline{\text{conv}}(X+Y) & = & \overline{\text{conv}}X+\overline{\text{conv}}\,Y.\end{array}\end{eqnarray}

Der Satz von Mazur besagt, daß für eine präkompakte Teilmenge X eines lokalkonvexen Raums auch conv X präkompakt ist.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos