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Lexikon der Mathematik: Konvexität

eine in verschiedenen mathematischen Gebieten gebräuchliche Bezeichung für Eigenschaften von Mengen und Abbildungen, die denen der konvexen Mengen im ℝ3 ähneln.

Eine Teilmenge AV eines reellen Vektorraumes heißt konvex, wenn zu je zwei Punkten aus A auch deren Verbindungsstrecke in A enthalten ist. Einfachste Beispiel sind Halbräume Hλ = {xV; λ(x) ≥ 0}, die durch eine lineare Abbildung λ : V → ℝ gegeben sind. Der Durchschnitt einer belie-bigen Anzahl konvexer Mengen ist wieder konvex. In Vektorräumen V = ℝn von endlicher Dimension < ?PageNum _198werden Durchschnitte von endlich vielen Halbräumen konvexe Polyeder genannt.

Die Definition der Konvexität läßt sich auf Teilmenge A von Räumen M übertragen, in denen kürzeste Verbindungen existieren, z. B. in geodätischen Räumen (Busemannscher G-Raum) oder Riemannschen Mannigfaltigkeiten.

Die Rolle der Geradensegmente übernehmen in der Riemannschen Geometrie die Geodätischen. Da aber zwei Punkte im allgemeinen nicht mehr durch ein einziges geodätisches Segment verbunden werden können, gibt es verschiedene Präzisierungen des Begriffs der Konvexität: A heißt konvex, wenn je zwei Punkte x, yA durch eine und nur eine Kürzeste verbunden werden können, die ganz in A enthalten ist und lokal konvex, wenn jeder Punkt xA eine Umgebung besitzt, die in obigem Sinne konvex ist. Schließlich heißt A schwach konvex, wenn x und y durch mindestens eine in A verlaufende Kürzeste verbunden werden können und absolut konvex, wenn alle Geodätischen, die zwei Punkte aus A verbinden, ganz in A liegen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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