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Lexikon der Mathematik: Konvexitätsungleichung

die Ungleichung \begin{eqnarray}{f}^{-1}\left(\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\alpha }_{k}f({x}_{k})\right)\le {g}^{-1}\left(\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\alpha }_{k}g({x}_{k})\right)\end{eqnarray}

für streng isotone surjektive Funktionen f : IJ und g : IK, für die gf−1 : JK konvex ist, wobei I, J, K ⊂ ℝ Intervalle seien, x1,…, xnI und α1,…, αn ∈ [ 0, 1] mit \(\displaystyle {\sum }_{k=1}^{n}{\alpha }_{k}=1\).

Diese sehr allgemeine Ungleichung folgt unmittelbar aus der (ersten) Jensen-Konvexitätsungleichung für gf−1, und aus ihr ergeben sich viele andere bekannte Ungleichungen als Spezialfälle.

So erhält man z. B. für 0 < t < u < ∞ mit den durch f(x) := xt und g(x) := xu definierten Funk-tionen f, g : (0, ∞) → (0, ∞) die Ungleichung für die gewöhnlichen und die gewichteten Mittel t-ter Ordnung, insbesondere die Ungleichungen für Mittelwerte.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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