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Lexikon der Mathematik: Koordinatenbasis

in der Riemannschen Geometrie eine aus Koordinaten gewonnene Basis, synonym auch „holonome Basis“ genannt.

Eine Basis, die nicht aus Koordianten gewonnen wird, wird dann anholonome Basis genannt. Hierfür die Bezeichnung „anholonome Koordinaten“ zu verwenden, ist zwar üblich, aber irreführend, da die anholonome Basis eben gerade nicht aus Koordinaten gewonnen werden kann. Eine Basis im n-dimensionalen Riemannschen Raum Vn besteht aus einem n-Tupel von Vektorfeldern \({e}_{\alpha }^{j}\) in Vn, die die Eigenschaft haben, daß sie in jedem einzelnen Punkt linear unabhängig sind. Dabei ist j = 1, … n der Zählindex dieses n-Tupels und α = 1 …n der Koordinatenindex.

Es gilt: Diese Basis ist genau dann holonom, wenn \({e}_{\alpha, \beta }^{j}={e}_{\beta, \alpha }^{j}\) ist.

Riemannsche Normalkoordinaten sind solche Koordinaten, in denen die zweiten partiellen Ableitungen der Metrik direkt den Riemannschen Krümmungstensor ergeben.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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