Aussage über die Konvergenz von Folgen von montonen linearen Operatoren.

Es sei C[a, b] der Raum der stetigen reellwertigen Funktionen auf [a, b] und ∥.∥_∞ die Maximumnorm. Ein Operator H : C[a, b] ↦ C[a, b], heißt monoton, falls aus f(x) ≤ g(x), x ∈ [a, b], die Relation \begin{eqnarray}H(f)(x)K\le H(g)(x),\ \ x\in [a,b]\end{eqnarray}

folgt. Ein Operator H : C[a, b] ↦ C[a, b], heißt linear, falls für alle f, g ∈ C[a, b] und α, β ∈ ℝ \begin{eqnarray}H(\alpha f+\beta g)=\alpha H(f)+\beta H(g)\end{eqnarray}

gilt.

Der folgende Satz über die Konvergenz von Folgen von solchen Operatoren wurde von P.P. Korowkin 1960 formuliert.

Es sei H_n : C[a, b] ↦ C[a, b], n ∈ N, eine Folge von linearen, monotonen Operatoren mit der Eigenschaft \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }||{H}_{n}({t}^{k})-{t}^{k}|{|}_{\infty }=0,k=0,1,2.\end{eqnarray}

Dann gilt: \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }||{H}_{n}(f)-f|{|}_{\infty }=0,f\in C[a,b].\end{eqnarray}

Beispielsweise sind die Bernstein-Operatoren B_n : C[0, 1] ↦ C[0, 1], n ∈ N, definiert durch \begin{eqnarray}{B}_{n}(f)(x)=\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{(}_{i}^{n})f({\scriptstyle \frac{i}{n}}){x}^{i}{(1-x)}^{n-i},n\in {\mathbb{N}},\end{eqnarray}

monoton und linear. Man kann leicht nachprüfen, daß die Beziehungen B_n(1) = 1, B_n(x) = x und \({B}_{n}({x}^{2})={x}^{2}+{\scriptstyle \frac{x-{x}^{2}}{n}}\) gelten. Damit folgt aus dem Satz von Korowkin der Weierstraßsche Approximationssatz.