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Lexikon der Mathematik: Korrelationsfunktion

Begriff aus der Statistik.

Sei (X(t))tT ein stochastischer Prozeß zweiter Ordnung. Dann heißt die mittels der Varianzen normierte Autokovarianzfunktion von (X(t))tT: \begin{eqnarray}\begin{array}{ll}{R}_{X}(s,t)\\ \ \ :=\frac{{cov}(X(s),X(t))}{\sqrt{V(X(s))V(X(t))}}\\ \ \ =\frac{E(X(s)-EX(s))\overline{(X(t)-EX(t))}}{\sqrt{E|X(s)-EX(s){|}^{2}E|X(t)-EX(t){|}^{2}}}\end{array}\end{eqnarray} mit s, tT Autokorrelationsfunktion von (X(t))tT.

Ist (X(t))tT im weiteren Sinne stationär, so ist die Autokorrelationsfunktion ausschließlich von der Zeitdifferenz |ts| abhängig; es gilt \begin{eqnarray}\text{}{R}_{X}(s,t)={R}_{X}(0,t-s)={R}_{X}(s-t,0),\end{eqnarray}

und man schreibt: \begin{eqnarray}\text{}{R}_{X}(s,t)={e}_{X}(|t-s|)\end{eqnarray}

Sind (X(t))tT und (Y(t))tT zwei stochastische Prozesse zweiter Ordnung über dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum, so heißt die mittels der Varianzen normierte Kreuzkovarianzfunktion von (X(t))tT und (Y(t))tT: \begin{eqnarray}\begin{array}{ll}{R}_{XY}(s,t)\\ \ \ := \frac{{cov}(X(s),Y(t))}{\sqrt{V(X(s))V(Y(t))}}\\ \ \ = \frac{E(X(s)-EX(s))\overline{(Y(t)-EY(t))}}{\sqrt{E|X(s)-EX(s){|}^{2}E|Y(t)-EY(t){|}^{2}}}\end{array}\end{eqnarray} mit s, tT Kreuzkorrelationsfunktion von (X(t))tT und (Y(t))tT.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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