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Lexikon der Mathematik: kovariante Ableitung

in der Differentialgeometrie diejenige Modifikation der partiellen Ableitung , bei der die Ableitung eines Tensors wieder ein Tensor ist. Sie wird mit D oder mit dem Nabla-Symbol ∇ bezeichnet.

Die kovariante Ableitung eines Tensors n-ter Stufe ist ein Tensor (n+1)-ter Stufe. Es gilt die Produktregel für kovariante Ableitungen analog derjenigen für gewöhnliche Ableitungen: \begin{eqnarray}D(A\text{}\cdot \text{}B)\text{}=\text{}(DA)\text{}\cdot \text{}B\text{}+\text{}A\text{}\cdot \text{}(DB)\text{}.\end{eqnarray}

Daher braucht man die Definition nur für Tensoren nullter und erster Stufe anzugeben. Ein Tensor nullter Stufe ist ein Skalar, und bei diesen stimmen partielle und kovariante Ableitung überein. Ein Tensor erster Stufe ist ein Vektor, und für den kovarianten Vektor vi ist die kovariante Ableitung der folgende Tensor zweiter Stufe: \begin{eqnarray}{\nabla }_{k}{v}^{i}={\partial }_{k}{v}^{i}+{\Gamma }_{jk}^{i}{v}^{j}{v}^{k}.\end{eqnarray}

Dabei sind die \({\Gamma }_{jk}^{i}\) die Christoffelsymbole, die selbst keine Tensoren darstellen (kovariante Tensoren).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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