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Lexikon der Mathematik: kovariante Divergenz

in der Riemannschen Geometrie diejenige Modifikation der gewöhnlichen Divergenz, die entsteht, wenn an die Stelle der partiellen Ableitung die kovariante tritt (kovariante Ableitung).

Allgemein bezeichnet die Divergenz diejenige Größe, die die relative Volumenänderung eines kleinen Raumgebiets bei einer Transformations-abbildung des Raumes auf sich beschreibt. Beispiele: Bei einer Parallelverschiebung (also Translation des Raumes) ist die Divergenz stets gleich Null. Bei Ähnlichkeitsabbildungen gilt: Die Divergenz ist positiv, falls es sich um eine Vergrößerungsabbildung handelt.

In Formeln: Ist der Tangentialvektor an die Transformationsabbildung der Vektor vi, so ist dessen kovariante Divergenz gleich ∇ivi. Um die Berechnung der dabei auftretenden Christoffelsymbole zu umgehen, kann man für diesen Fall folgende Formel anwenden: \begin{eqnarray}{\nabla }_{i}{v}^{i}=\frac{1}{\sqrt{|g|}}{\partial }_{i}(\sqrt{|g|{v}^{i}}).\end{eqnarray}

Dabei ist g die Determinante des metrischen Tensors.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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