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Lexikon der Mathematik: kovarianter Krümmungstensor

Multilinearform der Stufe 4 auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit (M, g), die sich durch innere Multiplikation mit der Riemannschen Metrik g aus dem Riemannschen Krümmungstensor ergibt.

Man bezeichnet den kovarianten Krümmungstensor ebenfalls mit R und definiert ihn durch \begin{eqnarray}R(X,\text{}Y,U,\text{}V)\text{}=\text{}g(R(X,\text{}Y)U,\text{}V)\end{eqnarray}

für ein Quadrupel (X, Y, U, V) ∈ Tx(M). Seine lokalen Koeffizienten Rijkm ergeben sich aus den lokalen Koeffizienten gij von g und den lokalen Koeffizienten \({R}_{kij}^{l}\) des ursprünglichen Krümmungstensors durch \begin{eqnarray}{R}_{ijkm}=\displaystyle \sum _{s=1}^{n}{g}_{js}{R}_{ikm}^{s}.\end{eqnarray}

Sie besitzen die Symmetrieeigenschaften Rij;km = Rkm;ij und Rij;km = −Rji;km = −Rij;mk.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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