Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Kovarianz

die für auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, 𝔄, P) definierte reelle oder komplexe Zufallsvariablen X und Y mit E(|X|2) < ∞ und E(|Y|2) < ∞ durch \begin{eqnarray}Cov(X,Y)=E((X-E(X)){(\overline{Y-E(Y))}})\end{eqnarray} definierte komplexe Zahl. Dabei bezeichnet \(\bar{c}\) für jedes c ∈ C die konjugiert komplexe Zahl. Die Kovarianz besitzt die folgenden Eigenschaften: \begin{eqnarray}\begin{array}{rcl}Cov(X,Y) & = & \overline{Cov(Y,X)}\\ Cov(X,Y) & = & E(X\bar{Y})-E(X)\overline{E(Y)}\\ Cov(aX+b,cY+d) & = & a\bar{c}Cov(X,Y)\end{array}\end{eqnarray}

für beliebige a, b, c und d aus R oder C. Weiterhin gilt die Cauchy-Schwarz-Ungleichung \begin{eqnarray}|Cov(X,Y)|\le E(|X-E(X){|}^{2})E(|Y-E(Y){|}^{2}),\end{eqnarray}

in der Gleichheit genau dann gegeben ist, wenn X und YP-fast sicher linear abhängig sind (Kovarianzfunktion).

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos