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Lexikon der Mathematik: Kovarianzfunktion

Abbildung, welche jedem Paar (s, t) von Elementen aus der Parametermenge eines auf einem Wahrscheinlichkeitsraum definierten stochastischen Prozesses mit Werten in ℝ oder ℂ die Kovarianz Cov(X(s), X(t)) der Zufallsvariablen X(s) und X(t) zuordnet.

Sei (X(t))tT ein stochastischer Prozeß zweiter Ordnung. Dann heißt die Funktion \begin{eqnarray}\begin{array}{rcl}{C}_{X}(s,t) & := & Cov(X(s),X(t))\\ & = & E(X(s)-EX(s))\overline{(X(t)-EX(t))}\end{array}\end{eqnarray}

mit s, tT Autokovarianzfunktion von (X(t))tT.

Ist (X(t))tT im weiteren Sinne stationär, so ist die Autokovarianzfunktion ausschließlich von der Zeitdifferenz |ts| abhängig; es gilt \begin{eqnarray}{C}_{X}(s,t)={C}_{X}(0,t-s)={C}_{X}(s-t,0),\end{eqnarray}

und man schreibt: \begin{eqnarray}{C}_{X}(s,t)=:{\sigma }_{X}(|t-s|).\end{eqnarray}

Sind (X(t))tT und (Y(t))tT zwei stochastische Prozesse zweiter Ordnung über dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum, so heißt die Funktion \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}{C}_{XY}(s,t) & := & Cov(X(s),Y(t))\\ & = & E(X(s)-EX(s))\overline{(Y(t)-EY(t))}\end{array}\end{eqnarray}

mit s, tT Kreuzkovarianzfunktion von (X(t))tT und (X(t))tT.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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