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Lexikon der Mathematik: Kreuzprodukt

Vektorprodukt, äußeres Produkt, die Abbildung × : ℝ3 × ℝ3 → ℝ3, definiert durch \begin{eqnarray}(u,v)\mapsto u\times v:=({u}_{2}{v}_{3}-{u}_{3}{v}_{2},{u}_{3}{v}_{1}-{u}_{1}{v}_{3},{u}_{1}{v}_{2},-{u}_{2}{v}_{1}).\end{eqnarray}

Das Kreuzprodukt ist linear in beiden Komponenten (d. h. bilinear), distributiv: \begin{eqnarray}({\alpha }_{1}u+{\alpha }_{2}v)\times w={\alpha }_{1}(u\times w)+{\alpha }_{2}(v\times w),\end{eqnarray}

und anti-kommutativ: \begin{eqnarray}u\times v=-(v\times u).\end{eqnarray}

Für das Kreuzprodukt gilt darüberhinaus: \begin{eqnarray}\det (u,v,w)=\langle u\times v, w\rangle =\langle u,v\times w\rangle,\end{eqnarray}

wobei ⟨·, ·⟩ das kanonische Skalarprodukt des ℝ3 bezeichnet, und det(u, v, w) die Determinante der Matrix (u, v, w).

Sind die Vektoren u und v linear unabhängig, so ist (u, v, u × v) eine Basis des ℝ3, die genauso orientiert ist wie die Standardbasis (e1, e2, e3) (Rechte-Hand-Regel). Sind u und v orthogonale Einheitsvektoren des ℝ3, so bilden die Vektoren u, v und u × v ein Orthonormalsystem.

Im ℝ2 ist keine dem Kreuzprodukt verwandte Operation erklärt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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