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Lexikon der Mathematik: kritischer Punkt

Punkt, in denen eine Funktion ein „kritisches Verhalten“ im folgenden Sinne zeigt:

Kritische Punkte einer in einer offenen Menge D ⊂ ℂ meromorphen Funktion f sind die Punkte z0D mit f′(z0) = 0 und die mehrfachen Polstellen von f in D, d. h. diejenigen Polstellen, deren Polstellenordnung mindestens 2 ist. Ist z0D ein kritischer Punkt von f, so heißt w0 := f(z0) ein kritischer Wert von f. Dabei wird w0 := ∞ gesetzt, falls z0 ein Pol von f ist.

Es gilt: Ein Punkt z0D ist ein kritischer Punkt von f genau dann, wenn f in keiner Umgebung UD von z0 injektiv ist. Ist w0f(D) kein kritischer Wert von f und z0f−1(w0) ein Urbildpunkt (d. h. f(z0) = w0), so gibt es eine Umgebung V von w0 derart, daß f in V eine eindeutig bestimmte meromorphe Umkehrfunktion f−1 mit f1(w0) = z0 besitzt. Kritische Punkte spielen eine wichtige Rolle in der Theorie der Iteration rationaler Funktionen.

Kritische Punkte einer differenzierbaren reellen Funktion f : ℝn → ℝ sind die Punkte x ∈ ℝn mit grad f(x) = 0.

Bei der Optimierung einer differenzierbaren Funktion f ohne Nebenbedingung ist jeder lokale Extremalpunkt notwendigerweise ein kritischer Punkt. Betrachtet man die Optimierung einer reellwertigen Funktion fC1(ℝn) auf der zulässigen Menge \begin{eqnarray}M:=\{x\in {{\mathbb{R}}}^{n}|{h}_{i}(x)=0,i\in I;{g}_{j}(x)\ge 0,j\in J\}\end{eqnarray}

mit endlichen Indexmengen I, J und hi, gjC1(ℝn), so heißt \(\bar{x}\in M\) kritischer Punkt für f|M, falls es reelle Zahlen \({\bar{\lambda }}_{i},i\in I\), und \({\bar{\mu }}_{j},j\in {J}_{0}(\bar{x})\) gibt (wobei \({J}_{0}(\bar{x}):=\{j\in J|{g}_{j}(\bar{x})=0\})\), die die folgende Gleichung erfüllen: \begin{eqnarray}Df(\bar{x}):=\displaystyle \sum _{i\in I}{\bar{\lambda }}_{i}\cdot D{h}_{i}(\bar{x})+\displaystyle \sum _{j\in {J}_{0}(\bar{x})}{\bar{\mu }}_{j}\cdot D{g}_{j}(\bar{x}).\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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